Question

4．下列命題中正確的序號是②③
①平面向量$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$的夾角為60°，$\overrightarrow{a}$=（2，0），|$\overrightarrow$|=1，則$\overrightarrow{a}$在$\overrightarrow$上的投影為$\sqrt{3}$．
②有一底面積半徑為1，高為2的圓柱，點O為這個圓柱底面的圓心，在這個圓柱內(nèi)隨機(jī)抽取一點P，則點P到O點的距離大于1的概率為$\frac{2}{3}$．
③命題：“?x∈（0，+∞），不等式cosx＞1-$\frac{1}{2}$x²恒成立”是真命題．
④在約束條件$\left\{\begin{array}{l}{x≤1}\\{y≤2}\\{x+y≥1}\end{array}\right.$下，目標(biāo)函數(shù)z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值為6，則$\frac{ab}{2a+b}$的最大值等于$\frac{2}{3}$．

Answer 1

分析 ①根據(jù)投影公式代入求出即可判斷；②根據(jù)球和圓柱的體積公式求出即可；③構(gòu)造函數(shù)，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，得到函數(shù)的單調(diào)性，從而得到結(jié)論；④畫出平面區(qū)域，結(jié)合基本不等式的性質(zhì)從而求出代數(shù)式的最大值．

解答 解：①則$\overrightarrow{a}$在$\overrightarrow$上的投影為：|$\overrightarrow{a}$|cos60°=2×$\frac{1}{2}$=1，故①錯誤；
②∵到點O的距離等于1的點構(gòu)成一個球面，如圖，
，
則點P到點O的距離大于1的概率為：
P=$\frac{半球外的體積}{圓柱的體積}$=$\frac{圓柱的體積-半球的體積}{圓柱的體積}$=$\frac{2π-\frac{2π}{3}}{2π}$=$\frac{2}{3}$，
故②正確；
③構(gòu)造函數(shù)h（x）=cosx-1+$\frac{1}{2}$x²，h′（x）=-sinx+x，h″（x）=-cosx+1≥0，∴h′（x）在（0，+∞）上單調(diào)增
∴h′（x）＞h′（0）=0，∴函數(shù)h（x）在（0，+∞）上單調(diào)增，∴h（x）＞0，
∴cosx＞1-$\frac{1}{2}$x²，即不等式恒成立，
故③正確；
④：約束條件對應(yīng)的平面區(qū)域如圖

3個頂點是（1，0），（1，2），（-1，2），
由圖易得目標(biāo)函數(shù)在（1，2）取最大值6，
此時a+2b=6，
∵a＞0，b＞0，∴由不等式知識可得：a+2b=6≥2$\sqrt{a•2b}$，
∴ab≤$\frac{9}{2}$，當(dāng)且僅當(dāng)：a=2b即：a=3，b=$\frac{3}{2}$時“=”成立，
要求$\frac{ab}{2a+b}$的最大值轉(zhuǎn)化為求$\frac{2a+b}{ab}$的最小值即可，
而$\frac{2a+b}{ab}$=$\frac{2}$+$\frac{1}{a}$≥2$\sqrt{\frac{2}•\frac{1}{a}}$=2$\sqrt{\frac{2}{ab}}$≥2$\sqrt{\frac{2}{\frac{9}{2}}}$=$\frac{4}{3}$，
∴$\frac{ab}{2a+b}$的最大值等于$\frac{4}{3}$，
故④錯誤，
故答案為：②③．

點評 本題考查了向量的運算，考查概率問題，考查函數(shù)恒成立問題，基本不等式性質(zhì)的應(yīng)用以及線性規(guī)劃問題，是一道綜合題．