Question

5．已知函數(shù)f（x）=lnx-$\frac{（x-1）^{2}}{2}$
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ）證明：當(dāng)x＞1時(shí)，f（x）＜x-1
（Ⅲ）確定實(shí)數(shù)k的所有可能取值，使得存在x₀＞1，當(dāng)x∈（1，x₀）時(shí)，恒有f（x）＞k（x-1）

Answer 1

分析 （Ⅰ）先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，令導(dǎo)函數(shù)大于0，解出即可；
（Ⅱ）構(gòu)造函數(shù)F（x）=f（x）-x+1，先求出函F（x）的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性證明即可；
（Ⅲ）通過討論k的范圍，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性求解即可．

解答 解：（I）f′（x）=$\frac{1}{x}$-x+1=$\frac{-{x}^{2}+x+1}{x}$，x∈（0，∞），
由 f′（x）＞0得：$\left\{\begin{array}{l}{x＞0}\\{-{x}^{2}+x+1＞0}\end{array}\right.$，
解得0＜x＜$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$，
故f（x） 的單調(diào)遞增區(qū)間（0，$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$）；
（II）令F（x）=f（x）-（x-1），x∈（0，+∞），
則有F′（x）=$\frac{1-{x}^{2}}{x}$，
當(dāng) x∈（1，+∞）時(shí)，F(xiàn)′（x）＜0，所以F（x）在[1，+∞） 上單調(diào)遞減，
故當(dāng)x＞1 時(shí)，F(xiàn)（x）_max=F（1）=0，
即當(dāng)x＞1 時(shí)，f（x）＜x-1；
（III）由（II）知，當(dāng)k=1 時(shí)，不存在x₀＞1 滿足題意，
當(dāng)k＞1 時(shí)，對于x＞1，有f（x）＜x-1＜k（x-1），
則f（x）＜k（x-1），從而不存在xx₀＞1 滿足題意，
當(dāng)k＜1 時(shí)，令G（x）=f（x）-k（x-1），x∈（0，∞），
則有G′（x）=$\frac{1}{x}$-x-k=$\frac{-{k}^{2}+（1-k）x+1}{x}$，
由G′（x）=0 得：-x²+（1-k）x+1=0，
得x₁=$\frac{1-k-\sqrt{（1-k）^{2}+4}}{2}$＜0，x₂=$\frac{1-k+\sqrt{（1+k）^{2}+4}}{2}$＞1，
當(dāng)x∈（1，x₂） 時(shí)，G′（x）＞0，故G（x） 在[1，x ₂）內(nèi)單調(diào)遞增，
從而當(dāng)x∈（1，x₂） 時(shí)，G（x）＞G（1）=0，即f（x）＞k（x-1），
綜上，k的取值范圍是（-∞，1）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，不等式的證明，是一道中檔題．