Question

7．如圖，在△ABC中，CD是∠ACB的平分線，△ACD的外接圓交BC于點(diǎn)E，AB=2AC．
（Ⅰ）求證：BE=2AD；
（Ⅱ）當(dāng)AC=1，EC=2時(shí)，求AD的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用圓的內(nèi)接四邊形得到三角形相似，進(jìn)一步得到線段成比例，最后求出結(jié)果．
（Ⅱ）利用上步的結(jié)論和割線定理求出結(jié)果．

解答 證明：（Ⅰ）連接DE，
由于四邊形DECA是圓的內(nèi)接四邊形，
所以：∠BDE=∠BCA
∠B是公共角，
則：△BDE∽△BCA．
則：$\frac{BE}{AB}=\frac{DE}{AC}$，
又：AB=2AC
所以：BE=2DE，
CD是∠ACB的平分線，
所以：AD=DE，
則：BE=2AD．
（Ⅱ）由于AC=1，
所以：AB=2AC=2．
利用割線定理得：BD•AB=BE•BC，
由于：BE=2AD，設(shè)AD=t，
則：2（2-t）=（2+2t）•2t
解得：t=$\frac{1}{2}$，
即AD的長(zhǎng)為$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：三角形相似的判定的應(yīng)用，圓周角的性質(zhì)的應(yīng)用，割線定理得應(yīng)用，主要考查學(xué)生的應(yīng)用能力．