Question

18．如圖，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁⊥面ABC，BC⊥AC，BC=AC=2，D為AC的中點．
（1）求證：AB₁∥面BDC₁；
（2）若二面角A-B₁D-A₁大小為45°，求直線AC₁與平面AB₁D所成角的大�。�

Answer 1

分析 （1）連結(jié)B₁C，交BC₁于點E，利用中位線定理及線面平行的判定定理即可；
（2）以C為原點，以CC₁、CA、CB所在直線分別為x、y、z軸建立空間直角坐標系，利用二面角A-B₁D-A₁大小為45°，可得確定平面AB₁D的法向量與平面A₁B₁D的法向量，進而可得$\overrightarrow{A{C}_{1}}$與平面AB₁D的法向量的夾角，利用互余的關(guān)系即得結(jié)論．

解答 （1）證明：連結(jié)B₁C，交BC₁于點E，
由題意可得E為B₁C的中點，
又∵D為AC的中點，
∴ED∥AB₁，
∵ED?平面BDC₁，AB₁?平面BDC₁，
∴AB₁∥面BDC₁；
（2）解：∵AA₁⊥面ABC，BC⊥AC，
∴三棱柱ABC-A₁B₁C₁為直三棱柱，
以C為原點，以CC₁、CA、CB所在直線分別為x、y、z軸建立空間直角坐標系如圖，
∵BC=AC=2，∴C（0，0，0），A（0，2，0），B（0，0，2），D（0，1，0），
設(shè)C₁（t，0，0），則A₁（t，2，0），B₁（t，0，2），
則$\overrightarrow{{B}_{1}D}$=（-t，1，-2），$\overrightarrow{DA}$=（0，1，0），$\overrightarrow{{A}_{1}{B}_{1}}$=（0，-2，2），
設(shè)平面AB₁D的法向量為$\overrightarrow{m}$=（x₁，y₁，z₁），平面A₁B₁D的法向量為$\overrightarrow{n}$=（x₂，y₂，z₂），
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{{B}_{1}D}=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{DA}=0}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{-t{x}_{1}+{y}_{1}-2{z}_{1}=0}\\{{y}_{1}=0}\end{array}\right.$，
取x₁=2，得$\overrightarrow{m}$=（2，0，-t），
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{{B}_{1}D}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{{A}_{1}{B}_{1}}=0}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{-t{x}_{2}+{y}_{2}-2{z}_{2}=0}\\{-2{y}_{2}+2{z}_{2}=0}\end{array}\right.$，
取x₂=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，-t，-t），
∵二面角A-B₁D-A₁大小為45°，
∴$cos＜\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}＞$=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{{2+t}^{2}}{\sqrt{4+{t}^{2}}•\sqrt{1+2{t}^{2}}}$=cos45°，
解得t=2或-2（舍），
∴C₁（2，0，0），$\overrightarrow{A{C}_{1}}$=（2，-2，0），平面AB₁D的法向量為$\overrightarrow{m}$=（2，0，-2），
∵$cos＜\overrightarrow{m}，\overrightarrow{A{C}_{1}}＞$=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{A{C}_{1}}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{A{C}_{1}}|}$=$\frac{4}{\sqrt{4+4}•\sqrt{4+4}}$=$\frac{1}{2}$，
∴$\overrightarrow{A{C}_{1}}$與$\overrightarrow{m}$的夾角是$\frac{π}{3}$，
∴所求直線AC₁與平面AB₁D所成角的大小為$\frac{π}{2}$-$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{6}$．

點評 本題考查直線與平面平行的判定，二面角的計算，線面角的計算，考查空間想象能力、計算能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．