Question

17．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），其中F₁，F(xiàn)₂為左、右焦點(diǎn)，且離心率e=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，直線l與橢圓交于兩不同點(diǎn)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）．當(dāng)直線l過(guò)橢圓C右焦點(diǎn)F₂且傾斜角為$\frac{π}{4}$時(shí)，原點(diǎn)O到直線l的距離為$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
（I）求橢圓C的方程；
（II）若$\overrightarrow{OP}$+$\overrightarrow{OQ}$=$\overrightarrow{ON}$，當(dāng)△OPQ面積為$\frac{\sqrt{6}}{2}$時(shí)，求|$\overrightarrow{ON}$|•|$\overrightarrow{PQ}$|的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)橢圓得定義，即可求出橢圓C的方程；
（Ⅱ）分直線斜率存在和不存在兩種情況討論，再聯(lián)立方程組，利用韋達(dá)定理，和弦長(zhǎng)公式，得到$|\overrightarrow{ON}{|}^{2}$$|\overrightarrow{PQ}{|}^{2}$=4（3-$\frac{1}{{m}^{2}}$）（2+$\frac{1}{{m}^{2}}$），再利用基本不等式即可求出答案．

解答 解：（Ⅰ）因?yàn)橹本�l的傾斜角為$\frac{π}{4}$，F(xiàn)₂（c，0），
∴直線l的方程為y=x-c，
由已知得$\frac{c}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，所以c=1，
又e=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，所以a=$\sqrt{3}$，b=$\sqrt{2}$，
所以橢圓C的方程$\frac{{x}^{2}}{3}+\frac{{y}^{2}}{2}$=1；
（Ⅱ）當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，P，Q兩點(diǎn)關(guān)于x軸對(duì)稱，
則x₁=x₂，y₁=-y₂，
由P（x₁，y₁）在橢圓上，則$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{3}$+$\frac{{{y}_{1}}^{2}}{2}$=1，而S=|x₁y₁|=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
則|x₁|=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，|y₁|=1，
知|$\overrightarrow{ON}$|•|$\overrightarrow{PQ}$|=2$\sqrt{6}$，
當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l為y=kx+m，代入$\frac{{x}^{2}}{3}+\frac{{y}^{2}}{2}$=1可得，2x²+3（kx+m）²=6，
即（2+3k²）x²+6kmx+3m²-6=0，
由題意△＞0，即3k²+2＞m²，
∴x₁+x₂=-$\frac{6km}{2+3{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{3{m}^{2}-6}{2+3{k}^{2}}$，
∴|PQ|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{1+{k}^{2}}$$\frac{2\sqrt{6}\sqrt{3{k}^{2}-2-{m}^{2}}}{2+3{k}^{2}}$，
∵d=$\frac{|m|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，
∴S_△POQ=$\frac{1}{2}$d•|PQ|=$\frac{1}{2}$|m|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$$\frac{2\sqrt{6}\sqrt{3{k}^{2}-2-{m}^{2}}}{2+3{k}^{2}}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
化為4m²（3k²+2-m²）=（3k²+2）²，
（3k²+2）²-2•2m²（3k²+2）+（2m²）²=0，
即（3k²+2-2m²）²=0，
則3k²+2=2m²，滿足△＞0，
由于x₁+x₂=-$\frac{3k}{m}$，y₁+y₂=k（x₁+x₂）+2m=-$\frac{3{k}^{2}}{m}$+2m=$\frac{2}{m}$，
∴$|\overrightarrow{ON}{|}^{2}$=（x₁+x₂）²+（y₁+y₂）²=$\frac{9{k}^{2}}{{m}^{2}}+\frac{4}{{m}^{2}}$=2（3-$\frac{1}{{m}^{2}}$），$|\overrightarrow{PQ}{|}^{2}$=（1+k²）$\frac{24（3{k}^{2}+2-{m}^{2}）}{（2+3{k}^{2}）^{2}}$=$\frac{2（2{m}^{2}+1）}{{m}^{2}}$=2（2+$\frac{1}{{m}^{2}}$），
∴$|\overrightarrow{ON}{|}^{2}$$|\overrightarrow{PQ}{|}^{2}$=4（3-$\frac{1}{{m}^{2}}$）（2+$\frac{1}{{m}^{2}}$）≤25，
當(dāng)且僅當(dāng)3-$\frac{1}{{m}^{2}}$=2+$\frac{1}{{m}^{2}}$，即m=±$\sqrt{2}$時(shí)等號(hào)成立，
故|$\overrightarrow{ON}$|•|$\overrightarrow{PQ}$|≤5，
綜上可知|$\overrightarrow{ON}$|•|$\overrightarrow{PQ}$|得最大值為5

點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓與拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立可得△＞0及其根與系數(shù)的關(guān)系、弦長(zhǎng)公式、點(diǎn)到直線的距離公式、三角形的面積計(jì)算公式、基本不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題