【題目】已知函數(shù)
(1)當(dāng)時(shí),求函數(shù)在處的切線方程;
(2)若函數(shù)在定義域上具有單調(diào)性,求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(3)求證:
【答案】(1) (2)a≤2.(3)詳見解析
【解析】試題分析:(1)由導(dǎo)數(shù)幾何意義得切線斜率等于該點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)值,再利用點(diǎn)斜式求切線方程,(2)先按單調(diào)遞增與單調(diào)遞減分類討論,再將函數(shù)單調(diào)性轉(zhuǎn)化為函數(shù)導(dǎo)數(shù)值恒非負(fù)或非正,利用變量分離轉(zhuǎn)化為求對(duì)應(yīng)函數(shù)最值,進(jìn)而確定實(shí)數(shù)的取值范圍;(3)利用導(dǎo)數(shù)證明數(shù)列求和不等式,一般方法為先構(gòu)造目標(biāo)函數(shù)(利用前面小題的結(jié)論),再代入數(shù)列,利用裂項(xiàng)相消法放縮求和,進(jìn)而得證不等式.
試題解析:(1)當(dāng)a=1時(shí),f(x)=(x+1)lnx﹣x+2,(x>0),
f′(x)=lnx+,f′(1)=1,f(1)=1,
所以求在x=1處的切線方程為:y=x
(2)f′(x)=lnx++1﹣a,(x>0).
(i)函數(shù)f(x)在定義域上單調(diào)遞減時(shí),
即a≥lnx+時(shí),令g(x)=lnx+,
當(dāng)x>ea時(shí),g′(x)>0,不成立;
(ii)函數(shù)f(x)在定義域上單調(diào)遞增時(shí),a≤lnx+;
令g(x)=lnx+,
則g′(x)=,x>0;
則函數(shù)g(x)在(0,1)上單調(diào)遞減,在(1,+∞)上單調(diào)遞增;
所以g(x)≥2,故a≤2.
(3)由(ii)得當(dāng)a=2時(shí)f(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞增,
由f(x)>f(1),x>1得(x+1)lnx﹣2x+2>0,
即lnx>在(1,+∞)上總成立,
令x=得ln>,
化簡(jiǎn)得:ln(n+1)﹣lnn>,
所以ln2﹣ln1>,
ln3﹣ln2>,…,
ln(n+1)﹣lnn>,
累加得ln(n+1)﹣ln1>,
即命題得證.
年級(jí) | 高中課程 | 年級(jí) | 初中課程 |
高一 | 高一免費(fèi)課程推薦! | 初一 | 初一免費(fèi)課程推薦! |
高二 | 高二免費(fèi)課程推薦! | 初二 | 初二免費(fèi)課程推薦! |
高三 | 高三免費(fèi)課程推薦! | 初三 | 初三免費(fèi)課程推薦! |
科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)若函數(shù)有零點(diǎn),求的取值范圍;
(2)若對(duì)任意的,都有,求的取值范圍.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù),現(xiàn)提供的大致圖象的8個(gè)選項(xiàng):
(1)請(qǐng)你作出選擇,你選的是( );
(2)對(duì)于函數(shù)圖像的判斷,往往只需了解函數(shù)的基本性質(zhì).為了驗(yàn)證你的選擇的正確性,請(qǐng)你解決
下列問(wèn)題:
①的定義域是___________________;
②就奇偶性而言, 是______________________ ;
③當(dāng)時(shí), 的符號(hào)為正還是負(fù)?并證明你的結(jié)論.
(解決了上述三個(gè)問(wèn)題,你要調(diào)整你的選項(xiàng),還來(lái)得及.)
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】選修4-5:不等式選講
已知函數(shù).
(1)若,求不等式的解集;
(2)若方程有三個(gè)不同的解,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某單位實(shí)行休年假制度三年以來(lái),50名職工休年假的次數(shù)進(jìn)行的調(diào)查統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下表所示:
休假次數(shù) | 0 | 1 | 2 | 3 |
人數(shù) | 5 | 10 | 20 | 15 |
根據(jù)表中信息解答以下問(wèn)題:
(1)從該單位任選兩名職工,求這兩人休年假次數(shù)之和為4的概率;
(2)從該單位任選兩名職工,用表示這兩人休年假次數(shù)之差的絕對(duì)值,求隨機(jī)變量的分布列及數(shù)學(xué)期望.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)求時(shí),求的單調(diào)區(qū)間;
(2)討論在定義域上的零點(diǎn)個(gè)數(shù).
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知點(diǎn),橢圓的離心率為是橢圓的焦點(diǎn),直線的斜率為為坐標(biāo)原點(diǎn).
(1)求橢圓的方程;
(2)設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓相交于兩點(diǎn),當(dāng)的面積最大時(shí),求直線的方程.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某校為了紀(jì)念“中國(guó)紅軍長(zhǎng)征90周年”,增強(qiáng)學(xué)生對(duì)“長(zhǎng)征精神”的深刻理解,在全校組織了一次有關(guān)“長(zhǎng)征”的知識(shí)競(jìng)賽,經(jīng)過(guò)初賽、復(fù)賽,甲、乙兩個(gè)代表隊(duì)(每隊(duì)3人)進(jìn)入了決賽,規(guī)定每人回答一個(gè)問(wèn)題,答對(duì)為本隊(duì)贏得20分,答錯(cuò)得0分.假設(shè)甲隊(duì)中每人答對(duì)的概率均為,乙隊(duì)中3人答對(duì)的概率分別為, , ,且各人回答正確與否相互之間沒有影響,用表示乙隊(duì)的總得分.
(1)求的分布列和均值;
(2)求甲、乙兩隊(duì)總得分之和等于40分且甲隊(duì)獲勝的概率.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè)某物體一天中的溫度是時(shí)間的函數(shù),已知,其中溫度的單位是,時(shí)間的單位是小時(shí),規(guī)定中午12:00相應(yīng)的,中午12:00以后相應(yīng)的取正數(shù),中午12:00以前相應(yīng)的取負(fù)數(shù)(例如早上8:00相應(yīng)的,下午16:00相應(yīng)的),若測(cè)得該物體在中午12:00的溫度為,在下午13:00的溫度為,且已知該物體的溫度在早上8:00與下午16:00有相同的變化率.
(1)求該物體的溫度關(guān)于時(shí)間的函數(shù)關(guān)系式;
(2)該物體在上午10:00至下午14:00這段時(shí)間中(包括端點(diǎn))何時(shí)溫度最高?最高溫度是多少?
查看答案和解析>>
百度致信 - 練習(xí)冊(cè)列表 - 試題列表
湖北省互聯(lián)網(wǎng)違法和不良信息舉報(bào)平臺(tái) | 網(wǎng)上有害信息舉報(bào)專區(qū) | 電信詐騙舉報(bào)專區(qū) | 涉歷史虛無(wú)主義有害信息舉報(bào)專區(qū) | 涉企侵權(quán)舉報(bào)專區(qū)
違法和不良信息舉報(bào)電話:027-86699610 舉報(bào)郵箱:58377363@163.com