Question

4．如圖，平行六面體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，以頂點A為端點的三條棱長都相等，且它們彼此的夾角都是60°；記AC₁=λAB，則λ的值為（　�。�

• A． $\sqrt{6}$
• B． $\sqrt{5}$
• C． 2
• D． $\sqrt{3}$

Answer 1

分析 設出空間中的一組基底，把$\overrightarrow{A{C}_{1}}$ 用基底表示，得到$|\overrightarrow{A{C}_{1}}|$與$|\overrightarrow{AB}|$的關系得答案．

解答 解：記$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow a$，$\overrightarrow{AD}=\overrightarrow b$，$\overrightarrow{A{A_1}}=\overrightarrow c$，且$|\overrightarrow a|=|\overrightarrow b|=|\overrightarrow c|=k$，
則$＜\overrightarrow a，\overrightarrow b＞=＜\overrightarrow{b，}\overrightarrow c＞=＜\overrightarrow c，\overrightarrow a＞={60°}$，∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow=\overrightarrow•\overrightarrow{c}=\overrightarrow{c}•\overrightarrow{a}=k•k•cos60°=\frac{1}{2}{k}^{2}$；
∴$|\overrightarrow{A{C}_{1}}{|}^{2}$=$（\overrightarrow{a}+\overrightarrow+\overrightarrow{c}）^{2}=|\overrightarrow{a}{|}^{2}+|\overrightarrow{|}^{2}+|\overrightarrow{c}{|}^{2}$$+2\overrightarrow{a}•\overrightarrow+2\overrightarrow{a}•\overrightarrow{c}+2\overrightarrow•\overrightarrow{c}$=$3{k^2}+2（\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}）{k^2}=6{k^2}$，
∴$|\overrightarrow{A{C_1}}|=\sqrt{6}k$，即$A{C_1}=\sqrt{6}k$；
$AB=|\overrightarrow{AB}|=|\overrightarrow a|=k$，
∴$λ=\frac{{A{C_1}}}{AB}=\frac{{\sqrt{6}k}}{k}=\sqrt{6}$，
故選：A．

點評 本題考查空間點、線、面的位置關系及學生的空間想象能力．靈活運用向量求解減少了計算量，是中檔題．