Question

19．列表討論函數(shù)y=$\frac{4（x+1）}{{x}^{2}}$-2的升降、凹凸、極值、拐點，并求出水平、垂直的切線．

Answer 1

分析 先求導得到函數(shù)的單調(diào)性質(zhì)和極值，再求導得到函數(shù)的凸凹性和拐點，由圖得到切線方程．

解答 解：∵y=$\frac{4（x+1）}{{x}^{2}}$-2，
∴y′=-4（$\frac{1}{{x}^{2}}$+$\frac{2}{{x}^{3}}$），
∴y″=8（$\frac{1}{{x}^{3}}$+$\frac{3}{{x}^{4}}$），

x	（-∞，-2）	-2	（-2，0）	0	（0，+∞）
y′	-	極小值	+	極大值	-
y	單調(diào)遞減	-3	單調(diào)遞增	無	單調(diào)遞減

，

x	（-∞，-3）	-3	（-3，0）	0	（0，+∞）
y′	-	極小值	+		-
y″	單調(diào)遞減	$-\frac{4}{27}$	單調(diào)遞增	無	單調(diào)遞增

，
又圖表和圖象可知，
函數(shù)y在（-∞，-2），（0，+∞）上單調(diào)遞減，在（-2，0）上單調(diào)遞增，
在（-∞，0），（0，+∞）上均為凹函數(shù)，
當x=-2時有極小值，極小值為-3，無極大值，
拐點為x=-3，
水平切線為x=-3，垂直切線為x=0．

點評 本題考查了函數(shù)升降、凹凸、極值、拐點，并求出水平、垂直的切線等性質(zhì)，關(guān)鍵是求導，屬于中檔題．