Question

20．已知復(fù)數(shù)z₁滿足z₁（1-i）=2（i為虛數(shù)單位），若復(fù)數(shù)z₂滿足z₁+z₂是純虛數(shù)，z₁•z₂是實數(shù)，求復(fù)數(shù)z₂．

Answer 1

分析 利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算化簡求得z₁，設(shè)z₂=a+bi（a，b∈R），求出z₁•z₂，結(jié)合z₁+z₂是純虛數(shù)，z₁•z₂是實數(shù)求得a，b的值得答案．

解答 解：∵z₁（1-i）=2，
∴${z}_{1}=\frac{2}{1-i}=\frac{2（1+i）}{（1-i）（1+i）}=\frac{2（1+i）}{2}=1+i$，
設(shè)z₂=a+bi（a，b∈R），
∵z₁+z₂=1+a+（b+1）i是純虛數(shù)，
∴$\left\{\begin{array}{l}{1+a=0}\\{1+b≠0}\end{array}\right.$，
∴a=-1，b≠-1．
∴z₁•z₂ =（1+i）（-1+bi）=（-1-b）+（b-1）i，
又z₁•z₂是實數(shù)，則b-1=0，
∴b=1，
∴z₂=-1+i．

點評 本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算，考查了復(fù)數(shù)的基本概念，是基礎(chǔ)題．