Question

20．若f（x），g（x）定義域?yàn)镽，f（x）是奇函數(shù)，g（x）是偶函數(shù)，且f（x）+g（x）=$\frac{1}{{x}^{2}-x+1}$，求f（x），g（x）．

Answer 1

分析 題目給出了相同定義域上的兩個函數(shù)，且給出了兩函數(shù)解析式的和，可借助于f（x）和g（x）的奇偶性，取x=-x，得到關(guān)于f（x）和g（x）的另一方程，聯(lián)立方程組求解即可

解答 解：∵f（x）是奇函數(shù)，g（x）是偶函數(shù)，∴f（-x）=-f（x），且g（-x）=g（x）
∵f（x）+g（x）=$\frac{1}{{x}^{2}-x+1}$，①
∴f（-x）+g（-x）=$\frac{1}{{x}^{2}+x+1}$，
即g（x）-f（x）=$\frac{1}{{x}^{2}+x+1}$，②
①②解得：g（x）=$\frac{2{x}^{2}+2}{{x}^{4}+{x}^{2}+1}$，
f（x）=$\frac{2x}{{x}^{4}+{x}^{2}+1}$

點(diǎn)評 本題考查了函數(shù)的奇偶性，考查了方程思想，解答此題的關(guān)鍵是借助于函數(shù)的奇偶性得到關(guān)于f（x）和g（x）的另外一個方程，是求函數(shù)解析式的一種方法