Question

【題目】已知函數(shù).

（1）討論函數(shù)的單調性；

（2）設，若對任意的恒成立，求整數(shù)的最小值；

（3）求證：當時，.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）2；（3）見證明

【解析】

（1）求出原函數(shù)的導函數(shù)f′（x）（x＞0），討論a≥0，和a＜0，由f′（x）的正負確定函數(shù)的單調性；

（2）a≤0，不滿足f（x）≤0恒成立． a>0，由（1）求得函數(shù)的最大值，構造函數(shù)結合零點存在定理求其最值的范圍，求得的最小值

（3）由（2）可知f（x）＝lnx﹣2x2+1＜0，得到ex﹣xlnx+2x3﹣x2+x﹣1＞ex﹣x2+2x﹣1．

構造u（x）＝ex﹣x2+2x﹣1（x＞0），利用兩次求導證明ex﹣xlnx+2x3﹣x2+x﹣1＞0．

（1）解：f（x）＝lnx-ax2+（-a+2）x+1，f′（x）2ax-a+2（x＞0），

①若a≤0，則f′（x）＞0，函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調遞增；

②若a>0，由f′（x）＞0，得0＜x；由f′（x）＜0，得x．

∴函數(shù)f（x）在（0，）上單調遞增，在（，+∞）上單調遞減；

（2）若a≤0，則f（1）＝-2a+3＞0，∴不滿足f（x）≤0恒成立．

若a>0，由（1）可知，函數(shù)f（x）在（0，）上單調遞增，在（，+∞）上單調遞減．

∴，又f（x）≤0恒成立，

∴0，

設g（x）＝lnx+x，則g（）≤0．

∵函數(shù)g（x）在（0，+∞）上單調遞增，且g（1）＝1＞0，g（）0，

∴存在唯一的x0∈（），使得g（x0）＝0．

當x∈（0，x0）時，g（x）＜0，當x∈（x0，+∞）時，g（x）＞0．

∴0x0，解得a≥∈（1,2），

又a∈Z，∴a≥2．

則綜上a的最小值為2；

（3）由（2）可知，a＝2時，f（x）＝lnx﹣2x2+1＜0，

∴lnx＜2x2﹣1，則﹣xlnx＞﹣2x3+x，

∴ex﹣xlnx+2x3﹣x2+x﹣1＞ex﹣2x3+x+2x3﹣x2+x﹣1＝ex﹣x2+2x﹣1．

記u（x）＝ex﹣x2+2x﹣1（x＞0），則u′（x）＝ex﹣2x+2．

記h（x）＝ex﹣2x+2，則h′（x）＝ex﹣2，

由h′（x）＝0，得x＝ln2．

當x∈（0，ln2）時，h′（x）＜0，當x∈（ln2，+∞）時，h′（x）＞0，

∴函數(shù)h（x）在（0，ln2）上單調遞減，在（ln2，+∞）上單調遞增，

．

∴h（x）＞0，即u′（x）＞0，故函數(shù)u（x）在（0，+∞）上單調遞增．

∴u（x）＞u（0）＝e0﹣1＝0，即ex﹣x2+2x﹣1＞0．

∴ex﹣xlnx+2x3﹣x2+x﹣1＞0．