Question

20．已知拋物線C：x²=4y，F(xiàn)為拋物線C的焦點(diǎn)，設(shè)P為直線l：x-y-2=0上的點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作拋物線C的兩條切線PA，PB．
（1）在直線l上取點(diǎn)P（4，2），求直線AB的方程；
（2）當(dāng)點(diǎn)P在直線l上移動(dòng)時(shí)，求|AF|+|BF|的最小值．

Answer 1

分析 （1）設(shè)切線斜率為k，聯(lián)立方程組，令判別式△=0解出k，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義得出切線方程，求出切點(diǎn)A，B的坐標(biāo)，從而得到直線AB的方程；
（2）設(shè)P（x₀，y₀），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），根據(jù)（1）的結(jié)論得出AB的方程，聯(lián)立拋物線方程得出y₁+y₂，于是AF|+|BF|=y₁+y₂+2，得出|AF|+|BF|關(guān)于x₀的函數(shù)，求出函數(shù)的最小值即可．

解答 解：（1）設(shè)切線方程為y-2=k（x-4），
聯(lián)立方程組$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}=4y}\\{y-2=k（x-4）}\end{array}\right.$，消元得x²-4kx+16k-8=0，
∴△=16k²-4（16k-8）=0，解得k₁=2+$\sqrt{2}$，k₂=2-$\sqrt{2}$．
由x²=4y得y=$\frac{{x}^{2}}{4}$，∴y′=$\frac{x}{2}$．
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁=2k₁=4+2$\sqrt{2}$，x₂=2k₂=4-2$\sqrt{2}$．
∴A（4+2$\sqrt{2}$，6+4$\sqrt{2}$），B（4-2$\sqrt{2}$，6-4$\sqrt{2}$）．
∴直線AB的斜率為k_AB=$\frac{8\sqrt{2}}{4\sqrt{2}}$=2，
∴直線AB的方程為y-6-4$\sqrt{2}$=2（x-4-2$\sqrt{2}$），即2x-y-2=0．
（2）由拋物線定義可知|AF|=y₁+1，|BF|=y₂+1．
設(shè)P（x₀，y₀），由（1）可知直線AB方程為x₀x-2y-2y₀=0．
聯(lián)立方程組$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{0}x-2y-2{y}_{0}=0}\\{{x}^{2}=4y}\end{array}\right.$，消元得y²+（2y₀-x₀²）y+y₀²=0．
∴y₁+y₂=x₀²-2y₀，
∴|AF|+|BF|=x₀²-2y₀+2，
∵P（x₀，y₀）在直線l：x-y-2=0上，
∴y₀=x₀-2．
∴|AF|+|BF|=x₀²-2（x₀-2）+2=（x₀-1）²+5．
∴當(dāng)x₀=1時(shí)，|AF|+|BF|取得最小值5．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了拋物線的性質(zhì)，直線與拋物線的位置關(guān)系，屬于中檔題．