Question

10．橢圓E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的左，右焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，直線l：y=x+1過E的左焦點(diǎn)F₁，交E于A，B兩點(diǎn)，線段AB的中點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為-$\frac{4}{7}$．
（Ⅰ）求橢圓E的方程；
（Ⅱ）將直線l：y=x+1，繞點(diǎn)F旋轉(zhuǎn)至某一位置得直線l′，l′交E于C，D兩點(diǎn)，E上是否存在一點(diǎn)N．滿足$\overline{{F}_{2}C}$+$\overline{{F}_{2}D}$=$\overline{{F}_{2}N}$？若存在，求直線l′的斜率；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （I）由直線l：y=x+1，令y=0，可得橢圓E的左焦點(diǎn)F₁（-1，0），c=1．設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得x₁+x₂=-$\frac{8}{7}$．與橢圓方程聯(lián)立可得：（a²+b²）x²+2a²x+a²-a²b²=0，利用根與系數(shù)的關(guān)系可得3a²=4b²，與a²=b²+c²，c=1聯(lián)立解出即可．
（II）假設(shè)E上存在一點(diǎn)N，滿足$\overline{{F}_{2}C}$+$\overline{{F}_{2}D}$=$\overline{{F}_{2}N}$，設(shè)l′方程為：my=x+1，設(shè)C（x₁，y₁），D（x₂，y₂）．則$\overrightarrow{ON}$=$\overrightarrow{O{F}_{2}}$+$\overline{{F}_{2}C}$+$\overline{{F}_{2}D}$=（x₁+x₂-1，y₁+y₂），直線方程與橢圓方程聯(lián)立（3m²+4）y²-6my-9=0，利用根與系數(shù)的關(guān)系可得：y₁+y₂，x₁+x₂-1．把點(diǎn)N的坐標(biāo)代入橢圓方程解出m即可得出．

解答 解：（I）由直線l：y=x+1，令y=0，解得x=-1，∵直線l過E的左焦點(diǎn)F₁，∴F₁（-1，0），c=1．
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁+x₂=$2×（-\frac{4}{7}）$=-$\frac{8}{7}$．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=x+1}\\{\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1}\end{array}\right.$，化為（a²+b²）x²+2a²x+a²-a²b²=0，
∴x₁+x₂=-$\frac{2{a}^{2}}{{a}^{2}+^{2}}$=$-\frac{8}{7}$，化為3a²=4b²，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{3{a}^{2}=4^{2}}\\{{a}^{2}=^{2}+{c}^{2}}\\{c=1}\end{array}\right.$，解得a=2，b²=3，
∴橢圓E的方程為：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$．
（II）假設(shè)E上存在一點(diǎn)N，滿足$\overline{{F}_{2}C}$+$\overline{{F}_{2}D}$=$\overline{{F}_{2}N}$，設(shè)l′方程為：my=x+1，設(shè)C（x₁，y₁），D（x₂，y₂）．
則$\overrightarrow{ON}$=$\overrightarrow{O{F}_{2}}$+$\overline{{F}_{2}C}$+$\overline{{F}_{2}D}$=（x₁+x₂-1，y₁+y₂），
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{my=x+1}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，化為（3m²+4）y²-6my-9=0，
△＞0，
∴y₁+y₂=$\frac{6m}{3{m}^{2}+4}$，
∴x₁+x₂-1=m（y₁+y₂）-3=$\frac{6{m}^{2}}{3{m}^{2}+4}$-3=$\frac{-3{m}^{2}-12}{3{m}^{2}+4}$．
把點(diǎn)N的坐標(biāo)代入橢圓方程可得：$\frac{（\frac{-3{m}^{2}-12}{3{m}^{2}+4}）^{2}}{4}$+$\frac{（\frac{6m}{3{m}^{2}+4}）^{2}}{3}$=1，
化為：27m⁴-24m²-80=0，
解得m²=$\frac{20}{9}$，
解得$m=±\frac{2\sqrt{5}}{3}$，
∴直線l′的斜率為$\frac{1}{m}$=±$\frac{3\sqrt{5}}{10}$．

點(diǎn)評 本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關(guān)系、向量坐標(biāo)運(yùn)算，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．