Question

20．若函數(shù)f（x）=$\frac{{{2^x}+a}}{{{2^x}+1}}$為奇函數(shù)，g（x）=$\left\{\begin{array}{l}alnx，x＞0\\{e^{ax}}，x≤0\end{array}$，則不等式g（x）＞1的解集為（　�。�

• A． （-∞，e^-1）
• B． （-∞，0）∪（0，e）
• C． （e，+∞）
• D． （-∞，0）∪（0，e^-1）

Answer 1

分析 根據(jù)函數(shù)f（x）=$\frac{{{2^x}+a}}{{{2^x}+1}}$為奇函數(shù)，求得a值，進(jìn)而分類討論滿足不等式g（x）＞1的x范圍，最后綜合討論結(jié)果，可得答案．

解答 解：∵函數(shù)f（x）=$\frac{{{2^x}+a}}{{{2^x}+1}}$為奇函數(shù)，
∴f（0）=0，
即a=-1，
∴g（x）=$\left\{\begin{array}{l}-lnx，x＞0\\{e}^{-x}，x≤0\end{array}\right.$，
當(dāng)x＞0時(shí)，解g（x）=-lnx＞1得：x∈（0，e^-1），
當(dāng)x＜0時(shí)，解g（x）=e^-x＞1得：x∈（-∞，0），
故不等式g（x）＞1的解集為（-∞，0）∪（（0，e^-1），
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是分段函數(shù)的應(yīng)用，指數(shù)不等式和對(duì)數(shù)不等式的解法，函數(shù)的奇偶性，難度中檔．