Question

13．已知直線y=k（x-2）（k＞0）與拋物線y²=8x相交于點(diǎn)A，B兩點(diǎn)，F(xiàn)為拋物線的焦點(diǎn)，若|FA|=2|FB|，則k的值為（　�。�

• A． 4
• B． 8
• C． 2$\sqrt{2}$
• D． 2$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 先過A，B兩點(diǎn)分別作準(zhǔn)線的垂線，再過B作AC的垂線，垂足分別為C，D，E，在直角三角形ABE中，求得cos∠BAE，進(jìn)而可求直線AB的斜率．

解答 解：∵直線y=k（x-2）（k＞0）恒過定點(diǎn)（2，0）
即為拋物線y²=8x的焦點(diǎn)F，
過A，B兩點(diǎn)分別作準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為C，D，
再過B作AC的垂線，垂足為E，
設(shè)|BF|=m，
∵|FA|=2|FB|，
∴|AF|=2m
∴AC=AF=2m，|BD|=|BF|=m
如圖，在直角三角形ABE中，
AE=AC-BD=2m-m=m，AB=3m，
∴cos∠BAE=$\frac{AE}{AB}$=$\frac{1}{3}$，
∴直線AB的斜率為：k=tan∠BAE=2$\sqrt{2}$，
故選C．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了拋物線的簡單性質(zhì)、共線向量及解三角形的知識(shí)，解答本題的關(guān)鍵是利用拋物線的定義作出直角三角形ABE，從而求得直線的斜率，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合起來的思想．