Question

數列{a_n}定義如下：a₁=1，對于每個n∈N^*，a_4n-3，a_4n-2，a_4n-1構成公差為1的等差數列，而a_4n-1，a_4n，a_4n+1構成公比為2的等比數列．
（1）求a₂，a₆的值以及a_4n-2（n∈N^*）的通項公式；
（2）若b_n=（a₁+a₂+a₃）+（a₅+a₆+a₇）+…+（a_4n-3+a_4n-2+a_4n-1），在數列{b_n}中是否存在不同的三項，使得此三項能成為某三角形的三條邊長？若能，求出這三項；若不能，請說明理由．

Answer 1

考點：數列與不等式的綜合

專題：綜合題,點列、遞歸數列與數學歸納法

分析：（1）利用_4n-3，a_4n-2，a_4n-1構成公差為1的等差數列，而a_4n-1，a_4n，a_4n+1構成公比為2的等比數列，求a₂，a₆的值以及a_4n-2（n∈N^*）的通項公式；
（2）由（1）知b_n=

11

3

(4n-1)-5n，確定數列{b_n}單調遞減，再利用反證法，即可得出結論．

解答： 解：（1）a₂=2，a₃=3，a₄=6，a₅=12，a₆=13．
由題意，a_4n-1=a_4n-2+1，a_4n+1=4a_4n-1，a_4n+2=a_4n+1+1，
∴a_4n+2=4a_4n-2+5，
∴a_4n+2+

5

3

=4（a_4n-2+

5

3

）
∴{a_4n-2+

5

3

}是以

11

3

為首項，4為公比的等比數列，
∴a_4n-2+

5

3

=

11

3

•4n-1，
∴a_4n-2=

11

3

•4n-1-

5

3

；
（2）由（1）知，a_4n-3+a_4n-2+a_4n-1=3a_4n-2=11•4^n-1-5，
∴b_n=

11

3

(4n-1)-5n，
∴b_n+1-b_n=

11

3

(4n+1-1)-5（n+1）-

11

3

(4n-1)+5n=11×4ⁿ-5＞0，
∴數列{b_n}單調遞減
假設存在不同的三項b_s，b_t，b_k（s＜t＜k），使得此三項能成為某三角形的三條邊長，則k≥3，t≤k-1，s≤k-2，
且b_k≤b_s+b_t≤b_k-2+b_k-1，可得33•4^k-2+15k≤34
∵k≥3，∴33•4^k-2+15k≥177，
∴數列{b_n}中不存在不同的三項，使得此三項能成為某三角形的三條邊長．

點評：本題考查數列中的新定義，考查數列的單調性，考查學生分析解決問題的能力，有難度．