Question

已知數(shù)列{a_n}是公差不為0的等差數(shù)列，前n項(xiàng)和為S_n，S₅=20，a₁，a₃，a₇成等比數(shù)列，數(shù)列{

1

anan+1

}的前n項(xiàng)和為T(mén)_n
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）若T_n≤λa_n+1對(duì)一切n∈N^*恒成立，求實(shí)數(shù)λ的最小值；
（3）設(shè)c_n=(1-

Tn

Tn+1

)•

1

Tn+1

，求證：c₁+c₂+c₃+…+c_n＜2．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列與不等式的綜合

專(zhuān)題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由已知條件利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和等比數(shù)列的性質(zhì)，列出方程組求出首項(xiàng)和公差，由此求出a_n；
（2）由利用裂項(xiàng)相消法求出數(shù)列{

1

anan+1

}的前n項(xiàng)和為T(mén)_n，不等式條件T_n≤λa_n+1轉(zhuǎn)化后，利用基本不等式求實(shí)數(shù)λ的最小值；
（3）有條件和T_n化簡(jiǎn)c_n，根據(jù)式子的特點(diǎn)和結(jié)論進(jìn)行放縮，再裂項(xiàng)相消法求出c₁+c₂+c₃+…+c_n，再證明結(jié)論．

解答： 解：（1）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，
則

5a1+ 5×4 2 ×d=20 (a1+2d)2=a1•(a1+6d)

，解得

d=1 a1=2

，
∴a_n=2+n-1=n+1．
（2）由（1）得，

1

anan+1

=

1

(n+1)(n+2)

=

1

n+1

-

1

n+2

，
則T_n=（

1

2

-

1

3

）+（

1

3

-

1

4

）+…+（

1

n+1

-

1

n+2

）
=

1

2

-

1

n+2

=

n

2(n+2)

，
∴T_n≤λa_n+1對(duì)一切n∈N^*恒成立，
即

n

2(n+2)

≤λ（n+2）對(duì)一切n∈N^*恒成立，
化簡(jiǎn)得，λ≥

n

2(n+2)2

=

1

2(n+ 4 n +4)

∵n+

4

n

≥2

n× 4 n

=4，當(dāng)且僅當(dāng)n=

4

n

時(shí)取等號(hào)，此時(shí)n=2，
∴

1

2(n+ 4 n +4)

≤

1

16

，
則實(shí)數(shù)λ的最小值為

1

16

；
（3）由（2）得，T_n=

n

2(n+2)

，則T_n+1=

n+1

2(n+3)

，
∴c_n=(1-

Tn

Tn+1

)•

1

Tn+1

=(1-

n 2(n+2)

n+1 2(n+3)

)•

2(n+3) n+1

=

2

(n+1)(n+2)

•

2(n+3) n+1

，
∵

2(n+3)

n+1

=2×(1+

2

n+1

)≤4，
∴c_n=

2

(n+1)(n+2)

•

2(n+3) n+1

≤

4

(n+1)(n+2)

=4×(

1

n+1

-

1

n+2

)，
∴c₁+c₂+c₃+…+c_n≤4[（

1

2

-

1

3

）+（

1

3

-

1

4

）+…+（(

1

n+1

-

1

n+2

)）]
=4（

1

2

-

1

n+2

）=2-

4

n+2

＜2，
即c₁+c₂+c₃+…+c_n＜2成立．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式，等比數(shù)列的性質(zhì)，利用裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的前n項(xiàng)和，考查了分利用基本不等式求最值問(wèn)題，以及放縮法證明不等式成立問(wèn)題，等價(jià)轉(zhuǎn)化思想與綜合運(yùn)算、推理證明能力，屬于難題．