Question

18．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x+\frac{1}{x}，x＞0}\\{4-{2}^{-x}，x≤0}\end{array}\right.$，若關(guān)于x的方程f（2x²+x）=a恰有6個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是[2，3]．

Answer 1

分析 由分段函數(shù)的圖象以及換元的方法，以及二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，得到a的范圍．

解答 解：∵函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x+\frac{1}{x}，x＞0}\\{4-{2}^{-x}，x≤0}\end{array}\right.$，
由函數(shù)f（x）的圖象得，f（x）=a恰有3個(gè)不同的實(shí)數(shù)根時(shí)，
需滿足2≤a≤3，
∴令t=2x²+x，
∴t≥-$\frac{1}{8}$，且除去頂點(diǎn)之外，每個(gè)t對(duì)應(yīng)2個(gè)x值．
∵方程f（2x²+x）=a恰有6個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，
∴等價(jià)于f（t）=a恰有3個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，
∴f（t）=a恰有3個(gè)不同的實(shí)數(shù)根時(shí)，需滿足2＜a≤3．
故答案為：（2，3]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查分段函數(shù)的圖象，換元思想，以及二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)．