Question

10．已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n滿足S_n=$\frac{3}{2}$a_n+n-3．
（1）求證：數(shù)列{a_n-1}是等比數(shù)列，并求{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）令c_n=log₃（a₁-1）+log₃（a₂-1）+…+log₃（a_n-1），對(duì)任意n∈N*，$\frac{1}{c_1}$+$\frac{1}{c_2}$+…+$\frac{1}{c_n}$＜k都成立，求k的最小值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)數(shù)列遞推公式得到a_n=3a_n-1-2，即可得到{a_n-1}是以3為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，問題得以解決；
（2）根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)和等差數(shù)列的求和公式，得到c_n=$\frac{n（n+1）}{2}$，再根據(jù)裂項(xiàng)求和恒成立得到k≥2，問題得以解決．

解答 解：（1）${S_n}=\frac{3}{2}{a_n}+n-3$①${S_{n-1}}=\frac{3}{2}{a_{n-1}}+n-1-3（n≥2）$②
①-②，得${a_n}=\frac{3}{2}{a_n}-\frac{3}{2}{a_{n-1}}+1$，即a_n=3a_n-1-2，
∴a_n-1=3（a_n-1-1），即$\frac{{{a_n}-1}}{{{a_{n-1}}-1}}=3（n≥2）$，
由${a_1}=\frac{3}{2}{a_1}+1-3$可得，a₁=4
∴{a_n-1}是以3為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，則${a_n}-1={3^n}$，
∴${a_n}={3^n}+1$
（2）log₃（a_n-1）=n，
∴${c_n}=1+2+…+n=\frac{（1+n）n}{2}$，
$\frac{1}{c_n}=2（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$$\frac{1}{c_1}+\frac{1}{c_2}+…+\frac{1}{c_n}=2（1-\frac{1}{n+1}）＜k$恒成立，
∴k≥2，即k_min=2

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的求和，考查等比數(shù)列的定義及通項(xiàng)公式，突出考查裂項(xiàng)法求和，考查推理與運(yùn)算能力，屬于中檔題．