Question

1．已知等差數(shù)列{a_n}中，a₁=3，a₂=6；設(shè)${b_n}={2^{a_n}}$，數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為${S_n}（{n∈{N^*}}）$．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）是否存在正整數(shù)n，t，使得$\frac{{{S_n}-t{b_n}}}{{{S_{n+1}}-t{b_{n+1}}}}＜\frac{1}{16}$，若存在，求出n，t的值，若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （I）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，由a₁=3，a₂=6，可得d=3．利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出．
（II）由（I）可得：${b_n}={2^{a_n}}$=8ⁿ．可得S_n=$\frac{8}{7}（{8}^{n}-1）$．假設(shè)存在正整數(shù)n，t，使得$\frac{{{S_n}-t{b_n}}}{{{S_{n+1}}-t{b_{n+1}}}}＜\frac{1}{16}$，可得$\frac{{8}^{n}（8-7t）-8}{{8}^{n+1}（8-7t）-8}$＜$\frac{1}{16}$，對n，t分類討論，利用不等式的性質(zhì)、指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)化簡整理即可判斷出結(jié)論．

解答 解：（I）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，∵a₁=3，a₂=6，∴d=6-3=3．
∴a_n=3+3（n-1）=3n．
（II）由（I）可得：${b_n}={2^{a_n}}$=2³ⁿ=8ⁿ．
∴S_n=$\frac{8（{8}^{n}-1）}{8-1}$=$\frac{8}{7}（{8}^{n}-1）$．
假設(shè)存在正整數(shù)n，t，使得$\frac{{{S_n}-t{b_n}}}{{{S_{n+1}}-t{b_{n+1}}}}＜\frac{1}{16}$，
∴$\frac{{8}^{n}（8-7t）-8}{{8}^{n+1}（8-7t）-8}$＜$\frac{1}{16}$，
當(dāng)t=1時，化為：$\frac{{8}^{n}-8}{{8}^{n+1}-8}$＜$\frac{1}{16}$，當(dāng)n=1時，0＜$\frac{1}{16}$成立．
當(dāng)n≥2時，8ⁿ⁺¹-8ⁿ＜1不成立．
當(dāng)t≥2時，化為：15＜-8ⁿ（7t-8），不成立．
綜上可得：只有t=n=1時成立．

點(diǎn)評 本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式、不等式的性質(zhì)、指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)，考查了分類討論方法、推理能力與計算能力，屬于中檔題．