Question

18．如圖，已知PA⊥平面ABCD，ABCD為矩形，M、N為AB、PC的中點(diǎn)．
（1）求證：MN⊥AB；
（2）若平面PDC與平面ABCD成45°角，求證：平面MND⊥平面PDC．

Answer 1

分析 （1）取DC的中點(diǎn)E，連接EN、EM，證明CD⊥平面MNE，得出CD⊥MN，再證AB⊥MN即可；
（2）取PD的中點(diǎn)F，連接AF，F(xiàn)N，證明AF⊥平面PDC，MN∥AF，得出MN⊥平面PDC，即證平面MND⊥平面PDC．

解答 解：（1）證明：如圖所示，
取DC的中點(diǎn)E，連接EN、EM，
∵M(jìn)、N為AB、PC的中點(diǎn)，
∴EN∥PD，EM∥DA；
在矩形ABCD中，AD⊥CD，
∴EM⊥CD；
又PA⊥平面ABCD，
∴PA⊥CD，
且PA∩AD=A，
∴CD⊥平面PAD；
∴CD⊥PD，
∴CD⊥EN；
又EN∩EM=E，
∴CD⊥平面MNE，
∴CD⊥MN；
又CD∥AB，
∴AB⊥MN；
（2）證明：如圖2所示，

取PD的中點(diǎn)F，連接AF，F(xiàn)N；
∵PA⊥平面ABCD，且CD?平面ABCD，AD?平面ABCD，
∴PA⊥CD，PA⊥AD，
又∵CD⊥AD，PA∩AD=A，
∴CD⊥平面PAD，
∴∠PDA是平面PDC與平面ABCD成的二面角的平面角，且∠PDA=45°，
又∵AF?平面PAD，
∴CD⊥AF，
F為PD中點(diǎn)，
∴AF⊥PD；
 又∵PD∩CD=D，
∴AF⊥平面PDC，
∵M(jìn)N∥AF，
∴MN⊥平面PDC，
又∵M(jìn)N?平面MND，
∴平面MND⊥平面PDC．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了空間中的平行與垂直的應(yīng)用問題，考查了直線與平面平行與垂直以及平面與平面平行和垂直的應(yīng)用問題，考查了二面角的應(yīng)用問題，是綜合性題目．