Question

11．已知點(diǎn)P（x₀，3）與點(diǎn)Q（x₀，4）分別在橢圓$\frac{{x}^{2}}{16}$+$\frac{{y}^{2}}{12}$=1與拋物線y²=2px（p＞0）上．
（1）求拋物線的方程；
（2）設(shè)點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）（y₁≤0，y₂≤0）是拋物線上的兩點(diǎn)，∠AQB的角平分線與x軸垂直，求直線AB在y軸上的截距的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）分別代入P，Q的坐標(biāo)，解方程求得P即可點(diǎn)到拋物線的方程；
（2）根據(jù)條件判定直線QA、QB的斜率關(guān)系，求出直線AB的斜率，再設(shè)出直線AB的方程，和拋物線方程聯(lián)立后化為關(guān)于y的一元二次方程，由判別式大于0，且y₁y₂≥0，求得直線AB在y軸上的截距的取值范圍．

解答 解：（1）由題意可得$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{16}$+$\frac{9}{12}$=1，
解得x₀=2（-2舍去），
即有點(diǎn)Q（2，4）分別在拋物線y²=2px上，
即有16=4p，
解得p=4，則有拋物線的方程為y²=8x；
（2）由（1）知點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（2，4），
由∠AQB的角平分線與x軸垂直，
可得QA、QB的傾斜角互補(bǔ)，即QA、QB的斜率互為相反數(shù)，
設(shè)QA的斜率為k，則QA：y-4=k（x-2），k≠0，
與拋物線方程聯(lián)立，可得y²-$\frac{8}{k}$y-16+$\frac{32}{k}$=0，
方程的解為4、y₁，
由韋達(dá)定理得：y₁+4=$\frac{8}{k}$，即y₁=$\frac{8}{k}$-4，
同理y₂=-$\frac{8}{k}$-4，
又y₁²=8x₁，y₂²=8x₂，
∴k_AB=-1，
設(shè)AB：y=-x+b，與拋物線方程聯(lián)立可得y²+8y-8b=0，
由韋達(dá)定理得：y₁+y₂=-8，y₁y₂=-8b，
∵△=64+32b＞0⇒b＞-2，y₁•y₂=-8b≥0⇒b≤0，
∴-2＜b≤0，
即直線AB在y軸上的截距的取值范圍是（-2，0]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查拋物線方程的求法，考查直線和圓錐曲線的位置關(guān)系，訓(xùn)練了一元二次方程有兩不等根的條件的應(yīng)用，是中檔題．