20．已知橢圓C的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，過F2的直線與橢圓相交于P，Q兩點(diǎn)，若PQ⊥PF1，且4PF1=3PQ，則橢圓的離心率e=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

分析 設(shè)|QF2|=m，|PF2|=n，利用橢圓的定義可得|QF1|=2a-m，|PF1|=2a-n．由4|PF1|=3|PQ|，可得4（2a-n）=3（m+n）．由PF1⊥PQ，利用勾股定理可得：（2a-n）2+n2=4c2，（2a-n）2+（m+n）2=（2a-m）2．聯(lián)立解得即可．

解答 解：如圖所示，設(shè)|QF2|=m，|PF2|=n，
則|QF1|=2a-m，|PF1|=2a-n．
∵4|PF1|=3|PQ|，∴4（2a-n）=3（m+n），
∵PF1⊥PQ，
∴（2a-n）2+n2=4c2，
（2a-n）2+（m+n）2=（2a-m）2．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{4（2a-n）=3（n+m）}\\{（2a-n）^{2}+{n}^{2}=4{c}^{2}}\\{（2a-n）^{2}+（m+n）^{2}=（2a-m）^{2}}\end{array}\right.$，
化為n=a，代入可得a2=2c2．
解得e=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
故答案為：$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓的定義及其性質(zhì)、勾股定理，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

10．已知函數(shù)f（x）=axlnx（a≠0，a∈R）
（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）當(dāng)x∈（1，e）時(shí)，不等式$\frac{x-1}{a}$＜lnx恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

11．已知點(diǎn)P（x0，3）與點(diǎn)Q（x0，4）分別在橢圓$\frac{{x}^{2}}{16}$+$\frac{{y}^{2}}{12}$=1與拋物線y2=2px（p＞0）上．
（1）求拋物線的方程；
（2）設(shè)點(diǎn)A（x1，y1），B（x2，y2）（y1≤0，y2≤0）是拋物線上的兩點(diǎn)，∠AQB的角平分線與x軸垂直，求直線AB在y軸上的截距的取值范圍．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

8．已知函數(shù)f（x）=ln（x+1）-kx2+k（k∈R）．
（1）若函數(shù)f（x）過P（0，1），求f（x）在點(diǎn)P處的切線方程；
（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

15．（1）證明：函數(shù)y=xsinx+cosx在區(qū)間（$\frac{3}{2}$π，$\frac{5}{2}$π）內(nèi)是增函數(shù)．
（2）證明：函數(shù)f（x）=ex+e-x在[0，+∞）上是增函數(shù)．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

5．一副三角板如圖拼成，AB=AC，∠BAC=90°，∠DBC=30°，∠BCD=90°，將△BCD沿BC折起，使得平面ABC⊥平面BCD．
（1）若AB=$\sqrt{2}$，求四面體A-BCD的體積；
（2）求證：平面ABD⊥平面ACD．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

12．如圖，在底面為梯形的四棱錐S-ABCD中，已知AD∥BC，∠ASC=60°，AD=DC=$\sqrt{2}$，SA=SC=SD=2．
（Ⅰ）求證：AC⊥SD；
（Ⅱ）求三棱錐B-SAD的體積．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

9．已知橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{\sqrt{3}}{2}$，且過點(diǎn)B（0，-2）．
（1）求此橢圓的方程；
（2）若直線y=kx+1（k≠0）交橢圓C于不同的兩點(diǎn)E，F(xiàn)，且E，F(xiàn)都在以B為圓心的圓上，求k的值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：填空題

10．已知xy=2x+y+2（x＞1），則x+y的最小值為7．

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案