Question

20．已知兩點A（-1，0）、B（1，0），點P（x，y）是直角坐標平面上的動點，若將點P的橫坐標保持不變、縱坐標擴大到$\sqrt{2}$倍后得到點$Q（x，\sqrt{2}y）$滿足$\overrightarrow{AQ}•\overrightarrow{BQ}=1$．
（1）求動點P所在曲線C的軌跡方程；
（2）過點B作斜率為$-\frac{{\sqrt{2}}}{2}$的直線l交曲線C于M、N兩點，且滿足$\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{ON}+\overrightarrow{OH}=\overrightarrow 0$，又點H關于原點O的對稱點為點G，
①求點H，G的坐標；
②試問四點M、G、N、H是否共圓，若共圓，求出圓心坐標和半徑；若不共圓，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）通過已知條件可得$\overrightarrow{AQ}=（x+1，\sqrt{2}y），\overrightarrow{BQ}=（x-1，\sqrt{2}y）$，利用$\overrightarrow{AQ}•\overrightarrow{BQ}=1$，計算即可；
（2）①聯(lián)立直線l與曲線C的方程，利用韋達定理及$\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{ON}+\overrightarrow{OH}=\overrightarrow 0$計算即可；②聯(lián)立線段MN、GH的中垂線可得交點坐標，通過計算交點到M、H的距離即可得出結論．

解答 解：（1）依據(jù)題意，有$\overrightarrow{AQ}=（x+1，\sqrt{2}y），\overrightarrow{BQ}=（x-1，\sqrt{2}y）$．
∵$\overrightarrow{AQ}•\overrightarrow{BQ}=1$，∴x²-1+2y²=1．
∴動點P所在曲線C的軌跡方程是$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$；
（2）①∵直線l過點B，且斜率為$k=-\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，
∴$l：y=-\frac{{\sqrt{2}}}{2}（x-1）$，
聯(lián)立方程組$\left\{\begin{array}{l}\frac{x^2}{2}+{y^2}=1\\ y=-\frac{{\sqrt{2}}}{2}（x-1）\end{array}\right.$，得2x²-2x-1=0．
設兩曲線的交點為M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂），
由韋達定理，可得：$\left\{\begin{array}{l}{x_1}+{x_2}=1\\{y_1}+{y_2}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}\end{array}\right.$．
又∵$\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{ON}+\overrightarrow{OH}=\overrightarrow 0$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{G}+{x}_{1}+{x}_{2}=0}\\{{y}_{G}+{y}_{1}+{y}_{2}=0}\end{array}\right.$，∴x_G=-1，y_G=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
又點G與點H關于原點對稱，
于是可得點$H（-1，-\frac{{\sqrt{2}}}{2}）$、$G（1，\frac{{\sqrt{2}}}{2}）$．
②結論：四點M、G、N、H共圓，圓心坐標為${O_1}（\frac{1}{8}，-\frac{{\sqrt{2}}}{8}）$，半徑為$\frac{{3\sqrt{11}}}{8}$．
理由如下：
若線段MN、GH的中垂線分別為l₁和l₂，則有${l_1}：y-\frac{{\sqrt{2}}}{4}=\sqrt{2}（x-\frac{1}{2}）$，${l_2}：y=-\sqrt{2}x$．
聯(lián)立方程組$\left\{\begin{array}{l}y-\frac{{\sqrt{2}}}{4}=\sqrt{2}（x-\frac{1}{2}）\\ y=-\sqrt{2}x\end{array}\right.$，解得l₁和l₂的交點為${O_1}（\frac{1}{8}，-\frac{{\sqrt{2}}}{8}）$．
因此，可算得$|{O_1}H|=\sqrt{{{（\frac{9}{8}）}^2}+{{（\frac{{3\sqrt{2}}}{8}）}^2}}=\frac{{3\sqrt{11}}}{8}$，$|{O_1}M|=\sqrt{{{（{x_1}-\frac{1}{8}）}^2}+{{（{y_1}+\frac{{\sqrt{2}}}{8}）}^2}}=\frac{{3\sqrt{11}}}{8}$．
所以，四點M、G、N、H共圓，圓心坐標為${O_1}（\frac{1}{8}，-\frac{{\sqrt{2}}}{8}）$，半徑為$\frac{{3\sqrt{11}}}{8}$．

點評 本題是一道直線與圓錐曲線的綜合題，考查運算求解能力，涉及到韋達定理、向量的坐標運算、兩點間距離公式等基礎知識，注意解題方法的積累，屬于中檔題．