Question

16．已知橢圓：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞b＞0）的左右焦點(diǎn)分別為F₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0），且過點(diǎn)$（-1，\frac{3}{2}）$，右頂點(diǎn)為A，經(jīng)過點(diǎn)F₂的動(dòng)直線l與橢圓交于B，C兩點(diǎn)．
（1）求橢圓方程；
（2）記△AOB和△AOC的面積分別為S₁和S₂，求|S₁-S₂|的最大值；
（3）在x軸上是否存在一點(diǎn)T，使得點(diǎn)B關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)落在直線TC上？若存在，則求出T點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）利用焦點(diǎn)為F（1，0），且過點(diǎn)（-1，$\frac{3}{2}$），列出方程，然后求解橢圓方程；
（2）設(shè)直線l方程為：x=my+1．與橢圓聯(lián)立，設(shè)B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），（y₁＞0，y₂＜0），利用韋達(dá)定理，通過當(dāng)m=0時(shí)，顯然|S₁-S₂|=0；當(dāng)m≠0時(shí)，|S₁-S₂|=|$\frac{1}{2}$•2•y₁-$\frac{1}{2}$•2•（-y₂）|=|y₁+y₂|，求解|S₁-S₂|的最大值；
（3）假設(shè)在x軸上存在一點(diǎn)T（t，0）滿足已知條件，利用k_TB=-k_TC，求出t﹒說明存在點(diǎn)T（4，0）滿足條件．

解答 解：（1）由已知c=1，$\frac{1}{{a}^{2}}$+$\frac{9}{4^{2}}$=1，
又a²-b²=1，
解得a=2，b=$\sqrt{3}$，
即有橢圓方程為：$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1；
（2）設(shè)直線l方程為：x=my+1，
聯(lián)立橢圓方程得（3m²+4）y²+6my-9=0，
設(shè)B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），（y₁＞0，y₂＜0），
則y₁+y₂=-$\frac{6m}{4+3{m}^{2}}$，
當(dāng)m=0時(shí)，顯然|S₁-S₂|=0；
當(dāng)m≠0時(shí)，|S₁-S₂|=|$\frac{1}{2}$•2•y₁-$\frac{1}{2}$•2•（-y₂）|
=|y₁+y₂|=$\frac{6|m|}{4+3{m}^{2}}$=$\frac{6}{3|m|+\frac{4}{|m|}}$≤$\frac{6}{2\sqrt{3•4}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
當(dāng)且僅當(dāng)3|m|=$\frac{4}{|m|}$，即m=±$\frac{2\sqrt{3}}{3}$時(shí)取等號，
綜合得m=±$\frac{2\sqrt{3}}{3}$時(shí)時(shí)，|S₁-S₂|的最大值為$\frac{\sqrt{3}}{2}$；
（3）假設(shè)在x軸上存在一點(diǎn)T（t，0）滿足已知條件，
則k_TB=-k_TC
即$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}-t}$=-$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}-t}$，即為y₁（x₂-t）+y₂（x₁-t）=0，
⇒y₁（my₂+1-t）+y₂（my₁+1-t）=0⇒2my₁y₂+（1-t）（y₁+y₂）=0，
即有2m•$\frac{-9}{4+3{m}^{2}}$+（1-t）•$\frac{-6m}{4+3{m}^{2}}$=0，
整理得：（4-t）•m=0，
由m任意，即有t=4﹒
故存在點(diǎn)T（4，0）滿足條件﹒

點(diǎn)評 本題考查直線與橢圓的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用，橢圓方程的求法，存在性問題的處理方法，韋達(dá)定理以及基本不等式的應(yīng)用，考查計(jì)算能力．