Question

8．已知函數(shù)f（x）=|x-a|-$\frac{a}{2}$lnx，a∈R，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

分析 通過(guò)討論a的符號(hào)，去掉絕對(duì)值，求出函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)的符號(hào)，從而求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可．

解答 解：（1）a≤0時(shí)，由定義域得x-a＞0恒成立，
∴f（x）=x-a-$\frac{a}{2}$lnx，f′（x）=1-$\frac{a}{2x}$$\frac{2x-a}{2x}$，
∵x＞0≥a，∴2x＞a，
∴f′（x）＞0，
∴f（x）在（0，+∞）單調(diào)遞增；
（2）a＞0時(shí)，若x＞a，則f（x）=x-a-$\frac{a}{2}$lnx，
f′（x）=1-$\frac{a}{2x}$$\frac{2x-a}{2x}$，
∵x＞a，∴2x＞a，
∴f′（x）＞0，
∴f（x）在（a，+∞）單調(diào)遞增；
x＜a時(shí)，則f（x）=a-x-$\frac{a}{2}$lnx，
f′（x）=-1-$\frac{a}{2x}$＜0，
∴f（x）在（0，a）單調(diào)遞減；
綜上，a≤0時(shí)：f（x）在（0，+∞）單調(diào)遞增，
a＞0時(shí)：f（x）在（0，a）單調(diào)遞減，在（a，+∞）單調(diào)遞增．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，考查分類討論，是一道中檔題．