Question

2．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{sinx，x≥1}\\{{e}^{x}，x＜1}\end{array}\right.$．
（1）若f（x）≥1，求x的取值范圍；
（2）求函數(shù)f（x）的值域．

Answer 1

分析 （1）討論當(dāng)x≥1時(shí)，sinx=1，解得x=2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈N；再由x＜1時(shí)，解不等式e^x≥1，即可得到所求x的取值范圍；
（2）分別討論x≥1時(shí)，x＜1時(shí)，結(jié)合正弦函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的值域，即可得到所求f（x）的值域．

解答 解：（1）當(dāng)x≥1時(shí)，sinx≥1，
但sinx≤1，即有sinx=1，
解得x=2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，即為x=2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈N；
當(dāng)x＜1時(shí)，e^x≥1，可得x≥0，即為0≤x＜1．
綜上可得x的取值范圍是[0，1）∪{x|x=2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈N}；
（2）當(dāng)x≥1時(shí)，f（x）=sinx∈[-1，1]；
當(dāng)x＜1時(shí)，f（x）=e^x∈（0，e）．
可得f（x）的值域?yàn)閇-1，1]∪（0，e）=[-1，e）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查分段函數(shù)的運(yùn)用：解不等式和求函數(shù)的值域，注意運(yùn)用三角函數(shù)的值域和指數(shù)函數(shù)的值域和單調(diào)性，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．