Question

4．已知橢圓C：4x²+y²=16
（1）求橢圓C的長軸長和短軸長    
（2）求橢圓C的焦點坐標和離心率
（3）直線l：y=-2x+4與橢圓C相交于A，B兩點，求AB的長．

Answer 1

分析 （1）化簡可得$\frac{{y}^{2}}{16}$+$\frac{{x}^{2}}{4}$=1，從而可得a=4，b=2，c=2$\sqrt{3}$；從而寫出橢圓C的長軸長和短軸長；
（2）由（1知寫出橢圓C的焦點坐標和離心率；
（3）聯(lián)立方程$\left\{\begin{array}{l}{y=-2x+4}\\{4{x}^{2}+{y}^{2}=16}\end{array}\right.$，從而可解出A（0，4），B（2，0），從而求AB的長．

解答 解：（1）∵4x²+y²=16，
∴$\frac{{y}^{2}}{16}$+$\frac{{x}^{2}}{4}$=1，
∴a=4，b=2，c=2$\sqrt{3}$；
∴橢圓C的長軸長為8，短軸長為4；
（2）由（1知，
橢圓C的焦點坐標為（0，-2$\sqrt{3}$），（0，2$\sqrt{3}$）；
離心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$；
（3）聯(lián)立方程$\left\{\begin{array}{l}{y=-2x+4}\\{4{x}^{2}+{y}^{2}=16}\end{array}\right.$，
消y化簡可得，
8x²-16x=0，
故x=0或x=2；
故y=4或y=0；
故A（0，4），B（2，0）；
故|AB|=$\sqrt{{4}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{5}$．

點評 本題考查了橢圓的標準方程的應用及橢圓與直線的位置關系的應用．