Question

3．已知圓E過定點A（a，0）（a＞0），圓心E在拋物線C：y²=2ax上運動，MN為圓E在y軸上截得的弦．
（Ⅰ）求證：不論圓心E如何變化，弦MN的長是個定值；
（Ⅱ）O為坐標原點，當|OA|是|OM|與|ON|的等差中項時，拋物線C的準線與圓E有怎樣的位置關系？請說明你的理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設圓心E（x₀，y₀），且${{y}_{0}}^{2}$=2ax₀，圓E的半徑R=|AE|=$\sqrt{{{x}_{0}}^{2}+{a}^{2}}$，由此能證明不論圓心E如何變化，弦MN的長是個定值．
（Ⅱ）設M（0，y₁），N（0，y₂），在圓E：$（x-{x}_{0}）^{2}+（y-{y}_{0}）^{2}$=${{x}_{0}}^{2}+{a}^{2}$中，令x=0，得${y}_{1}{y}_{2}={{y}_{0}}^{2}-{a}^{2}$，由|OA|是|OM|與|ON|的等差中項，得|OM|+|ON|=2a，由圓心E到拋物線準線距離d=${x}_{0}+\frac{a}{2}$≤a，得到拋物線C的準線與圓E相交．

解答 證明：（Ⅰ）設圓心E（x₀，y₀），且${{y}_{0}}^{2}$=2ax₀，
圓E的半徑R=|AE|=$\sqrt{（{x}_{0}-a）^{2}+{{y}_{0}}^{2}}$=$\sqrt{{{x}_{0}}^{2}+{a}^{2}}$，
∴|MN|=2$\sqrt{{R}^{2}-{{x}_{0}}^{2}}$=2$\sqrt{{{x}_{0}}^{2}+{a}^{2}-{{x}_{0}}^{2}}$=2a（定值），
∴不論圓心E如何變化，弦MN的長是個定值2a．
解：（Ⅱ）設M（0，y₁），N（0，y₂），在圓E：$（x-{x}_{0}）^{2}+（y-{y}_{0}）^{2}$=${{x}_{0}}^{2}+{a}^{2}$中，
令x=0，得${y}^{2}-2{y}_{0}y+{{y}_{0}}^{2}-{a}^{2}=0$，∴${y}_{1}{y}_{2}={{y}_{0}}^{2}-{a}^{2}$，
∵|OA|是|OM|與|ON|的等差中項，
∴|OM|+|ON|=|y₁|+|y₂|=2|OA|=2a，
又|MN|=|y₁-y₂|=2a，∴|y₁|+|y₂|=|y₁-y₂|，
∴y₁y₂≤0，∴${{y}_{0}}^{2}-{a}^{2}$≤0，
即$2a{x}_{0}-{a}^{2}$≤0，∴0$≤{x}_{0}≤\frac{a}{2}$，
圓心E到拋物線準線距離d=${x}_{0}+\frac{a}{2}$≤a，
而圓E半徑R=$\sqrt{{{x}_{0}}^{2}+{a}^{2}}$≥a，且上兩式不能同時取等號，
故拋物線C的準線與圓E相交．

點評 本題考查弦MN的長是個定值的證明，考查拋物線C的準線與圓E的位置關系的判斷，是中檔題，解題時要認真審題，注意兩點間距離公式、等差中項、圓的性質(zhì)、拋物線性質(zhì)的合理運用．