Question

19．如果（$\sqrt{x}-\frac{1}{{x}^{2}}$）ⁿ的展開式中含有常數(shù)項(xiàng)，則正整數(shù)n的最小值是5．

Answer 1

分析 T_r+1=（-1）^r${∁}_{n}^{r}$${x}^{\frac{n-5r}{2}}$．令$\frac{n-5r}{2}$=0，可得n=5r．即可得出．

解答 解：T_r+1=${∁}_{n}^{r}$$（\sqrt{x}）^{n-r}$$（-\frac{1}{{x}^{2}}）^{r}$=（-1）^r${∁}_{n}^{r}$${x}^{\frac{n-5r}{2}}$．
令$\frac{n-5r}{2}$=0，可得n=5r．
∵（$\sqrt{x}-\frac{1}{{x}^{2}}$）ⁿ的展開式中含有常數(shù)項(xiàng)，∴正整數(shù)n的最小值是5．
故答案為：5．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．