Question

15．在平面直角坐標系xOy中，設M是由不等式組$\left\{\begin{array}{l}{（\sqrt{3}x+y）（\sqrt{3}x-y）≥0}\\{y≥0}\end{array}\right.$表示的區(qū)域，A是到原點的距離不大于1的點構成的區(qū)域，向A中隨機投一點，則所投點落在M中的概率是$\frac{1}{3}$．

Answer 1

分析 本題屬于幾何概型，利用“測度”求概率，本例的測度即為區(qū)域的面積，故只要求出題中兩個區(qū)域：由不等式組$\left\{\begin{array}{l}{（\sqrt{3}x+y）（\sqrt{3}x-y）≥0}\\{y≥0}\end{array}\right.$表示的落在圓內(nèi)的面積區(qū)域和到原點的距離不大于1的點構成的區(qū)域的面積后再求它們的比值即可．

解答 解：根據(jù)題意可得，A是到原點的距離不大于1的點構成的區(qū)域，表示以原點為圓心，以1為半徑的圓及其內(nèi)部，面積為S₁=π，
點M（x，y）滿足$\left\{\begin{array}{l}{（\sqrt{3}x+y）（\sqrt{3}x-y）≥0}\\{y≥0}\end{array}\right.$，
其構成的區(qū)域D如圖所示，落在圓內(nèi)的面積為S₂=$\frac{π}{3}$，
所以所求的概率為P=$\frac{1}{3}$．
故答案為：$\frac{1}{3}$．

點評 本題主要考查幾何概型．幾何概型的特點是：實驗結果的無限性和每一個實驗結果出現(xiàn)的等可能性．在具體問題的研究中，要善于將基本事件“幾何化”，構造出隨機事件對應的幾何圖形，抓住其直觀性，把握好幾何區(qū)域的“測度”，利用“測度”的比來計算幾何概型的概率．