【題目】已知橢圓C:1(a>b>0),其右焦點(diǎn)為F(1,0),離心率為.
(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)過點(diǎn)F作傾斜角為α的直線l,與橢圓C交于P,Q兩點(diǎn).
(ⅰ)當(dāng)時(shí),求△OPQ(O為坐標(biāo)原點(diǎn))的面積;
(ⅱ)隨著α的變化,試猜想|PQ|的取值范圍,并證明你的猜想.
【答案】(Ⅰ)1;(Ⅱ)(i),(ii)[3,4),證明見解析.
【解析】
(Ⅰ)根據(jù)題意可得c=1,由離心率,以及b2=a2﹣c2即可求解.
(Ⅱ)(i)利用點(diǎn)斜式求出直線l的方程為xy+1,將直線l的方程與橢圓聯(lián)立,根據(jù)韋達(dá)定理求出y1+y2,y1y2,進(jìn)而求出,利用三角形的面積公式即可求解;(ii)設(shè)直線l的方程為x=my+1,設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2),聯(lián)立方程組,利用韋達(dá)定理以及弦長公式可求出,設(shè)m2+1=t,t>1,再利用基本不等式即可求解.
(Ⅰ)由題意可的c=1,
又,則a=2,
則b2=a2﹣c2=3,
∴橢圓方程為1,
(Ⅱ)(i)設(shè)直線l的方程為xy+1,設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2),
聯(lián)立方程組,消x可得5y2+2y﹣9=0,
∴y1+y2,y1y2,
則|y1﹣y2|
∴S△OPQ|OF||y1﹣y2|1,
(ii)當(dāng)α時(shí),設(shè)直線l的方程為x=my+1,則tanα,
設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2),
聯(lián)立方程組,消x可得(3m2+4)y2+6my﹣9=0
∴y1+y2,y1y2,
∴|PQ|,
設(shè)m2+1=t,t>1,
,∵t>1,∴∈(0,1),
∴∈(3,4),∴|PQ|∈(3,4),
當(dāng)m=0時(shí),此時(shí)α,此時(shí)直線方程為x=1,
則1,解得y=±,
∴|PQ|=3,
綜上所述隨著α的變化,|PQ|的取值范圍為[3,4).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】下列結(jié)論正確的是( ).
A.“,互為共軛復(fù)數(shù)”是“”的充分不必要條件
B.如圖,在復(fù)平面內(nèi),若復(fù)數(shù),對(duì)應(yīng)的向量分別是,,則復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為
C.若函數(shù)恰在上單調(diào)遞減,則實(shí)數(shù)的值為4
D.函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知四棱錐的底面是菱形,,底面,是上的任意一點(diǎn).
(1)求證:平面平面;
(2)設(shè),是否存在點(diǎn)使平面與平面所成的銳二面角的大小為?如果存在,求出點(diǎn)的位置,如果不存在,請(qǐng)說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)橢圓的離心率為,圓與軸正半軸交于點(diǎn), 圓在點(diǎn)處的切線被橢圓截得的弦長為.
(1)求橢圓的方程;
(2)設(shè)圓上任意一點(diǎn)處的切線交橢圓于點(diǎn)、,求證:為定值.
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【題目】在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中,O為線段AC的中點(diǎn),點(diǎn)E在線段A1C1上,則直線OE與平面A1BC1所成角的正弦值的取值范圍是( )
A.B.C.D.
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【題目】已知數(shù)列{an}的首項(xiàng)為1,若對(duì)任意的n∈N*,數(shù)列{an}滿足an+1﹣3an<2,則稱數(shù)列{an}具有性質(zhì)L.
(Ⅰ)判斷下面兩個(gè)數(shù)列是否具有性質(zhì)L:
①1,3,5,7,9,…;
②1,4,16,64,256,…;
(Ⅱ)若{an}是等差數(shù)列且具有性質(zhì)L,其前n項(xiàng)和Sn滿足Sn<2n2+2n(n∈N*),求數(shù)列{an}的公差d的取值范圍;
(Ⅲ)若{an}是公比為正整數(shù)的等比數(shù)列且具有性質(zhì)L,設(shè)bn=an(n∈N*),且數(shù)列{bn}不具有性質(zhì)L,求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.
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【題目】隨著科技的發(fā)展,近年看電子書的國人越來越多;所以近期有許多人呼呼“回歸紙質(zhì)書”,目前出版物閱讀中紙質(zhì)書占比出現(xiàn)上升現(xiàn)隨機(jī)選出200人進(jìn)行采訪,經(jīng)統(tǒng)計(jì)這200人中看紙質(zhì)書的人數(shù)占總?cè)藬?shù).將這200人按年齡分成五組:第l組,第2組,第3組,第4組,第5組,其中統(tǒng)計(jì)看紙質(zhì)書的人得到的頻率分布直方圖如圖所示.
(1)求的值及看紙質(zhì)書的人的平均年齡;
(2)按年齡劃分,把年齡在的稱青壯年組,年齡在的稱為中老年組,若選出的200人中看電子書的中老年人有10人,請(qǐng)完成下面列聯(lián)表,并判斷能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.1的前提下認(rèn)為看書方式與年齡層有關(guān)?
看電子書 | 看紙質(zhì)書 | 合計(jì) | |
青壯年 | |||
中老年 | |||
合計(jì) |
附:(其中).
0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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【題目】已知是橢圓的右焦點(diǎn),過點(diǎn)的直線交橢圓于兩點(diǎn). 是的中點(diǎn),直線與直線交于點(diǎn).
(Ⅰ)求征:;
(Ⅱ)求四邊形面積的最小值.
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【題目】 (2017·黃岡質(zhì)檢)如圖,在棱長均為2的正四棱錐P-ABCD中,點(diǎn)E為PC的中點(diǎn),則下列命題正確的是( )
A.BE∥平面PAD,且BE到平面PAD的距離為
B.BE∥平面PAD,且BE到平面PAD的距離為
C.BE與平面PAD不平行,且BE與平面PAD所成的角大于30°
D.BE與平面PAD不平行,且BE與平面PAD所成的角小于30°
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