【題目】設(shè)橢圓的離心率為，圓與軸正半軸交于點(diǎn)， 圓在點(diǎn)處的切線被橢圓截得的弦長為.

(1)求橢圓的方程；

(2)設(shè)圓上任意一點(diǎn)處的切線交橢圓于點(diǎn)、，求證：為定值.

【答案】(1) (2)見證明

【解析】

(1)由離心率為得b=c,再根據(jù)圓在點(diǎn)處的切線被橢圓截得的弦長為得到點(diǎn)在橢圓上，解方程組即得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）先證明當(dāng)過點(diǎn)與圓相切的切線斜率不存在時，再證明當(dāng)過點(diǎn)與圓相線的切線斜率存在時，即得證.

(1)設(shè)橢圓的半焦距為由橢圓的離心率為，

由題知，

橢圓的方程為

易求得，點(diǎn)在橢圓上，

，解得，

橢圓的方程為.

(2)當(dāng)過點(diǎn)與圓相切的切線斜率不存在時，不妨設(shè)切線的方程為，

由(1)知， ，，

，，

當(dāng)過點(diǎn)與圓相線的切線斜率存在時，可設(shè)切線的方程為，，

，即

聯(lián)立直線和橢圓的方程得，

，

得，

且，

綜上所述，圓上任意一點(diǎn)、 處的切線交橢圓于點(diǎn)，都有，

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某快遞公司收取快遞費(fèi)用的標(biāo)準(zhǔn)是：重量不超過的包裹收費(fèi)元；重量超過的包裹，除收費(fèi)元之外，超過的部分，每超出（不足，按計算）需再收元.該公司將最近承攬的件包裹的重量統(tǒng)計如下：

包裹重量（單位： ）

包裹件數(shù)

公司對近天，每天攬件數(shù)量統(tǒng)計如下表：

包裹件數(shù)范圍

包裹件數(shù)

（近似處理）

天數(shù)

以上數(shù)據(jù)已做近似處理，并將頻率視為概率.

（1）計算該公司未來天內(nèi)恰有天攬件數(shù)在之間的概率；

（2）（i）估計該公司對每件包裹收取的快遞費(fèi)的平均值；

（ii）公司將快遞費(fèi)的三分之一作為前臺工作人員的工資和公司利潤，剩余的用作其他費(fèi)用.目前前臺有工作人員人，每人每天攬件不超過件，工資元.公司正在考慮是否將前臺工作人員裁減人，試計算裁員前后公司每日利潤的數(shù)學(xué)期望，并判斷裁員是否對提高公司利潤更有利？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知拋物線y2＝2px(p＞0)的焦點(diǎn)為F，過F且與x軸垂直的直線交該拋物線于A，B兩點(diǎn)，|AB|＝4．

（1）求拋物線的方程；

（2）過點(diǎn)F的直線l交拋物線于P，Q兩點(diǎn)，若△OPQ的面積為4，求直線l的斜率（其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)）．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知橢圓的右頂點(diǎn)為，左焦點(diǎn)為，離心率，過點(diǎn)的直線與橢圓交于另一個點(diǎn)，且點(diǎn)在軸上的射影恰好為點(diǎn)，若．

(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)過圓上任意一點(diǎn)作圓的切線與橢圓交于，兩點(diǎn)，以為直徑的圓是否過定點(diǎn)，如過定點(diǎn)，求出該定點(diǎn)；若不過定點(diǎn)，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知橢圓的右頂點(diǎn)為，左焦點(diǎn)為，離心率，過點(diǎn)的直線與橢圓交于另一個點(diǎn)，且點(diǎn)在軸上的射影恰好為點(diǎn)，若．

(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)過圓上任意一點(diǎn)作圓的切線與橢圓交于，兩點(diǎn)，以為直徑的圓是否過定點(diǎn)，如過定點(diǎn)，求出該定點(diǎn)；若不過定點(diǎn)，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖所示，三棱柱ABC﹣A1B1C1的側(cè)棱垂直于底面，且底面是邊長為2的正三角形，AA1＝3，點(diǎn)D，E，F，G分別是所在棱的中點(diǎn)．

（Ⅰ）證明：平面BEF∥平面DA1C1；

（Ⅱ）求三棱柱ABC﹣A1B1C1夾在平面BEF和平面DA1C1之間的部分的體積．

附：臺體的體積，其中S和S′分別是上、下底面面積，h是臺體的高．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知橢圓C：1（a＞b＞0），其右焦點(diǎn)為F（1，0），離心率為．

（Ⅰ）求橢圓C的方程；

（Ⅱ）過點(diǎn)F作傾斜角為α的直線l，與橢圓C交于P，Q兩點(diǎn)．

（ⅰ）當(dāng)時，求△OPQ（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）的面積；

（ⅱ）隨著α的變化，試猜想|PQ|的取值范圍，并證明你的猜想．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】求滿足下列條件的橢圓或雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：

（1）橢圓的焦點(diǎn)在軸上，焦距為4，且經(jīng)過點(diǎn)；

（2）雙曲線的焦點(diǎn)在軸上，右焦點(diǎn)為，過作重直于軸的直線交雙曲線于，兩點(diǎn)，且，離心率為.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】2019年4月20日，重慶市實施高考改革方案，2018年秋季入學(xué)的高中一年級的學(xué)生將實行“”模式.即“3”為全國統(tǒng)考科目語文、數(shù)學(xué)、外語所有學(xué)生必考；“1”為物理、歷史科目中選擇一科俗稱“2選1”；“2”為再選學(xué)科，考生可在化學(xué)、生物、思想政治、地理4個科目中選擇兩科俗稱“4選2”，選擇學(xué)科完全相同即為相同“組合”.某校高一年級有三名同學(xué)甲，乙，丙根據(jù)自己喜歡的大學(xué)和專業(yè)情況均選擇了物理，為了了解“4選2”選科情況老師找這三名同學(xué)來談話情況如下：

甲說：我選了化學(xué)，但沒有選思想政治；

乙說：我與甲有一科相同，但沒有選化學(xué)和地理；

丙說：我與甲有相同的選科，與乙也有相同選科，但我們?nèi)齻�選的“組合”都不相同.則下列結(jié)論正確的是（ ）

A.甲選了化學(xué)和地理B.丙可能選化學(xué)和思想政治

C.甲一定選地理D.丙一定選了生物和地理

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