【題目】已知數(shù)列{an}的首項為1,若對任意的nN*,數(shù)列{an}滿足an+13an2,則稱數(shù)列{an}具有性質(zhì)L

)判斷下面兩個數(shù)列是否具有性質(zhì)L

1,3,57,9,

1,4,16,64,256,;

)若{an}是等差數(shù)列且具有性質(zhì)L,其前n項和Sn滿足Sn2n2+2nnN*),求數(shù)列{an}的公差d的取值范圍;

)若{an}是公比為正整數(shù)的等比數(shù)列且具有性質(zhì)L,設bnannN*),且數(shù)列{bn}不具有性質(zhì)L,求數(shù)列{an}的通項公式.

【答案】1,3,5,7,9具有性質(zhì)L,理由見解析;([0,4);(.

【解析】

)根據(jù)題意利用an+13an2,驗證即可

(Ⅱ)利用等差數(shù)列的通項公式以及前項和公式,代入不等式即可求解.

(Ⅲ)利用等比數(shù)列的通項公式求出數(shù)列{an}的公比{bn}不具有性質(zhì)L,只需存在正整數(shù)m,使得bm+13bm≥2,,,進而可確定,利用等比數(shù)列的通項公式即可求解.

)①1,3,5,7,9,具有性質(zhì)L

理由如下:

對于數(shù)列1,3,57,9,,其通項公式為an2n1nN*,

an+13an2n+132n1)=44n2,

13,57,9具有性質(zhì)L

1,416,64256,不具有性質(zhì)L

理由如下:

對于數(shù)列1,4,1664,256,

a33a2163×442,

1,4,16,64,256不具有性質(zhì)L

)∵等差數(shù)列{an}具有性質(zhì)L,∴an+13an2,

1+nd3[1+n1d]2nN*均成立,

∴(32nd4nN*均成立,當n1時,d4,

n≥2時,d恒成立,

0,(n≥2,nN*),∴d≥0,∴0≤d4,

a11,得,

∴由題意n2n2+2nnN*均成立,

∴當n1時,dR,當n≥2時,d恒成立,

4,∴d≤4

,(n≥2,nN*),∴d≥0.∴0≤d4,

綜上,0≤d4

∴數(shù)列{an}的公差d的取值范圍是[0,4).

)設數(shù)列{an}的公比為q,則qn1,

∵公比為正整數(shù)的等比數(shù)列{an}具有性質(zhì)L,

qn3qn12,∴(q3qn12,∴q3≤0

若不然,q≥4,此時,(q3qn1≥4n1,不滿足條件,

q是正整數(shù),∴q12,3,

{bn}不具有性質(zhì)L,∴存在正整數(shù)m,使得bm+13bm≥2,

2,(2,

,∴,

q{12,3}.∴q3,

q3時,,滿足an+13an2

∴數(shù)列{an}的通項公式為

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年齡(歲)

頻數(shù)

14

12

8

6

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3

4

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7

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2

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