Question

16．?dāng)?shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，存在常數(shù)A，B，C，使得a_n+S_n=An²+Bn+C對(duì)任意正整數(shù)n都成立．
（1）若數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列，求證：3A-B+C=0；
（2）若A=-$\frac{1}{2}$，B=-$\frac{3}{2}$，C=1，設(shè)b_n=a_n+n，數(shù)列{nb_n}的前n項(xiàng)和為T(mén)_n，求T_n．

Answer 1

分析 （1）由數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列，設(shè)公差為d，表示出a_n+S_n，代入已知等式整理即可得證；
（2）根據(jù)第一問(wèn)確定出的a_n+S_n通項(xiàng)公式，求出a₁的值，得到數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式，進(jìn)而確定出數(shù)列{nb_n}的前n項(xiàng)和為T(mén)_n即可．

解答 （1）證明：∵數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列，設(shè)公差為d，
由a_n+S_n=An²+Bn+C，
得a₁+（n-1）d+na₁+$\frac{1}{2}$n（n-1）d═An²+Bn+C，
∵對(duì)任意正整數(shù)n都成立，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}d-A=0}\\{{a}_{1}+\frac{1}{2}d-B=0}\\{{a}_{1}-d-C=0}\end{array}\right.$，
∴3A-B+C=0；
（2）解：∵a_n+S_n=$\frac{1}{2}$n²-$\frac{3}{2}$n+1，
∴a₁=-$\frac{1}{2}$，
當(dāng)n≥2時(shí)，a_n-1+S_n-1=-$\frac{1}{2}$（n-1）²-$\frac{3}{2}$（n-1）+1，
∴2a₁-a_n-1=-n-1，
∴2（a_n+n）=a_n-1+n-1，
∴b_n=$\frac{1}{2}$b_n-1，n≥2，
∵b₁=a₁+1=$\frac{1}{2}$，
∴數(shù)列{b_n}是首項(xiàng)為$\frac{1}{2}$，公比為$\frac{1}{2}$的等比數(shù)列，
∴b_n=（$\frac{1}{2}$）ⁿ，即nb_n=$\frac{n}{{2}^{n}}$，
∴T_n=$\frac{1}{2}$+$\frac{2}{{2}^{2}}$+$\frac{3}{{2}^{3}}$+…+$\frac{n}{{2}^{n}}$①，$\frac{1}{2}$T_n=$\frac{2}{{2}^{2}}$+$\frac{3}{{2}^{3}}$+…+$\frac{n}{{2}^{n+1}}$②，
①-②得：$\frac{1}{2}$T_n=$\frac{1}{2}$-$\frac{n}{{2}^{n+1}}$=$\frac{{2}^{n}-n}{{2}^{n+1}}$，
則T_n=$\frac{{2}^{n}-n}{{2}^{n}}$．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了數(shù)列的求和，等差、等比數(shù)列的性質(zhì)，以及數(shù)列的遞推式，熟練掌握各自的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．