Question

6．設(shè)函數(shù)f（x）在R上存在導數(shù)f′（x），?x∈R，有f（-x）+f（x）=x²，在（0，+∞）上f′（x）＜x，若f（4-m）-f（m）≥8-4m，則實數(shù)m的取值范圍是[2，+∞）．

Answer 1

分析 構(gòu)造函數(shù)g（x）=f（x）-$\frac{1}{2}$x²，由g（-x）+g（x）=0，可得函數(shù)g（x）為奇函數(shù)．利用導數(shù)可得函數(shù)g（x）在R上是減函數(shù)，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性解不等式即可．

解答 解：令g（x）=f（x）-$\frac{1}{2}$x²，
∵g（-x）+g（x）=f（-x）-$\frac{1}{2}$x²+f（x）-$\frac{1}{2}$x²=0，
∴函數(shù)g（x）為奇函數(shù)．
∵x∈（0，+∞）時，g′（x）=f′（x）-x＜0，
故函數(shù)g（x）在（0，+∞）上是減函數(shù)，
故函數(shù)g（x）在（-∞，0）上也是減函數(shù)，
由f（0）=0，可得g（x）在R上是減函數(shù)，
∴f（4-m）-f（m）=g（4-m）+$\frac{1}{2}$（4-m）²-g（m）-$\frac{1}{2}$m²=g（4-m）-g（m）+8-4m≥8-4m，
∴g（4-m）≥g（m），
∴4-m≤m，
解得：m≥2，
故答案為：[2，+∞）

點評 本題主要考查函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性的應(yīng)用，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想，構(gòu)造函數(shù)利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性是解決本題的關(guān)鍵．屬于中檔題．