Question

1．設(shè)α是三角形的一個(gè)內(nèi)角，且sin（$α+\frac{π}{3}$）=$\frac{1}{2}$cos（$α-\frac{π}{6}$）．
（Ⅰ）求tan2α的值；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）=4sinxcosxcos2α+cos2xsin2α-1的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）化簡條件可得tanα=-$\sqrt{3}$，求得α的值，可得tan2α 的值．
（Ⅱ）利用三角恒等變換化簡函數(shù)f（x）的解析式，再利用正弦函數(shù)的值域求得它的最大值．

解答 解：（Ⅰ）∵sin（$α+\frac{π}{3}$）=$\frac{1}{2}$cos（$α-\frac{π}{6}$），∴2sinαcos$\frac{π}{3}$+2cosαsin$\frac{π}{3}$=cosαcos$\frac{π}{6}$+sinαsin$\frac{π}{6}$，
化簡可得sinα+$\sqrt{3}$cosα=0，即tanα=-$\sqrt{3}$．
又α是三角形的一個(gè)內(nèi)角，可得α=$\frac{2π}{3}$，故tan2α=tan$\frac{4π}{3}$=tan$\frac{π}{3}$=$\sqrt{3}$．
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）=4sinxcosxcos2α+cos2xsin2α-1=2sin2xcos$\frac{4π}{3}$+cos2xsin$\frac{4π}{3}$-1
=-sin2x-$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos2x-1=-$\frac{\sqrt{7}}{2}$sin（2x+θ）-1，故當(dāng)sin（2x+θ）=-1時(shí)，f（x）取得最大值為$\frac{\sqrt{7}}{2}$-1．

點(diǎn)評 本題主要考查三角恒等變換，根據(jù)三角函數(shù)的值求角，正弦函數(shù)的值域，屬于中檔題．