如圖,A地到火車站共有兩條路徑L1和L2,據(jù)統(tǒng)計,通過兩條路徑所用的時間互不影響,所用時間落在各個時間段內(nèi)的頻率如下表:
時間(分鐘)10~2020~3030~4040~5050~60
L1的頻率0.10.20.30.20.2
L2的頻率00.10.40.40.1
現(xiàn)甲、乙兩人分別有40分鐘和50分鐘時間用于趕往火車站.
(1)為了盡最大可能在各自允許的時間內(nèi)趕到火車站,甲和乙應(yīng)如何選擇各自的路徑?
(2)如果甲隨機(jī)地選取了一條路徑,求甲在允許的時間內(nèi)能趕到火車站的概率;
(3)如果甲、乙都是隨機(jī)地選取了一條路徑,求他們在允許的時間內(nèi)至少有一人不能趕到火車站的概率.
考點:相互獨立事件的概率乘法公式,互斥事件的概率加法公式
專題:概率與統(tǒng)計
分析:(1)設(shè)Ai表示事件“甲選擇路徑Li時,40分鐘內(nèi)趕到火車站”,Bi表示事件“甲選擇路徑Li時,50分鐘內(nèi)趕到火車站”,i=1,2,求出P(A1)和P(A2)的值,甲應(yīng)選擇概率值較大的路徑.再求得P(B1)和P(B2),乙也應(yīng)選擇概率值較大的路徑.
(2)甲在允許的時間內(nèi)能趕到火車站的概率等于
1
2
P(A1)+
1
2
P(A2),計算求得結(jié)果.
(3)求得乙在允許的時間內(nèi)能趕到火車站的概率,結(jié)合(2)求得他們在允許的時間內(nèi)都能趕到火車站的概率,再用1減去此概率.即得所求.
解答: 解:(1)Ai表示事件“甲選擇路徑Li時,40分鐘內(nèi)趕到火車站”,
Bi表示事件“甲選擇路徑Li時,50分鐘內(nèi)趕到火車站”,i=1,2.
用頻率估計相應(yīng)的概率,則有:P(A1)=0.1+0.2+0.3=0.6,P(A2)=0.1+0.4=0.5;
∵P(A1)>P(A2),∴甲應(yīng)選擇路徑L1;
P(B1)=0.1+0.2+0.3+0.2=0.8,P(B2)=0.1+0.4+0.4=0.9;
∵P(B2)>P(B1),∴乙應(yīng)選擇路徑L2,
(2)甲在允許的時間內(nèi)能趕到火車站的概率等于
1
2
P(A1)+
1
2
P(A2)=0.55.
(3)乙在允許的時間內(nèi)能趕到火車站的概率等于
1
2
P(B1)+
1
2
P(B2)=0.85,
故他們在允許的時間內(nèi)都能趕到火車站的概率為0.55×0.85=0.4675,
故他們在允許的時間內(nèi)至少有一人不能趕到火車站的概率為1-0.4675=0.5325.
點評:本題主要考查相互獨立事件的概率乘法公式,所求的事件的概率與它的對立事件的概率之間的關(guān)系,屬于基礎(chǔ)題.
練習(xí)冊系列答案
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已知函數(shù)f(x)=xlnx+ax在x=
1
e
處取得極小值.
(Ⅰ)若不等式f(x)-bx+e≥0對一切x∈(0,+∞)恒成立,求b的取值范圍;
(Ⅱ)若m,n∈(0,e),且m+n=e,求證:f(m)+f(n)>0.

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已知函數(shù)f(x)=x2+mx+n的圖象過點(1,3),且f(-1+x)=f(-1-x)對任意實數(shù)都成立,函數(shù)y=g(x)與y=f(x)的圖象關(guān)于原點對稱.
(Ⅰ)求f(x)與g(x)的解析式;
(Ⅱ)若F(x)=exg(x)-λ[f(x)+x2]在[-2,0]上是增函數(shù),求實數(shù)λ的取值范圍.

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已知Sn是等差數(shù)列{an}的前n項和,且a1=-1,S5=15.
(1)求an
(2)令bn=2 an(n=1,2,3,…),計算b1,b2和b3,由此推測數(shù)列{bn}是等差數(shù)列還是等比數(shù)列,證明你的結(jié)論.

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分?jǐn)?shù)段(分)[50,70)[70,90)[90,110)[110,130)[130,150)總計
頻數(shù)b
頻率a0.25
(1)求表中a,b的值及分?jǐn)?shù)在[90,100)范圍內(nèi)的學(xué)生人數(shù),并估計這次考試全校學(xué)生數(shù)學(xué)成績的及格率(分?jǐn)?shù)在[90,150)內(nèi)為及格):
(2)從成績在[100,120)范圍內(nèi)的學(xué)生中隨機(jī)選2人,求其中恰一人成績在[100,110)內(nèi)的概率.

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如圖1,等腰梯形ABCD中,AD∥BC,AB=AD,∠ABC=60°,E是BC的中點,如圖2,將△ABE沿AE折起,使面BAE⊥面AECD,連接BC,BD,P是棱BC上的動點.
(1)求證:AE⊥BD;
(2)若AB=2,當(dāng)
BP
BC
為何值時,二面角P-ED-C的大小為45°.

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定義函數(shù)f(x)=
ln(x+2)+2
x
,g(x)=
m
x+2

(Ⅰ)若m=3
3
,求函數(shù)y=g(x)圖象上任意一點P到坐標(biāo)原點的距離的最小值;
(Ⅱ)是否存在最大的正整數(shù)m,使得對任意的正數(shù)k,都存在實數(shù)a,b滿足-2<a<b<k,有f(k)=f(a)=f(b),如果存在,求出最大的正整數(shù)m;如果不存在,請說明理由.

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設(shè)函數(shù)f(x)=plnx+
q
x2
(p>0),若x=
2
2
時,f(x)有極小值
1
2
(1-ln2),
(1)求實數(shù)p,q的取值;
(2)若數(shù)列{an}中,an=f(n),求證:數(shù)列{an}的前n項和Sn
n
4

(3)設(shè)函數(shù)g(x)=alnx+bx+c(a>0),若g(x)有極值且極值為t,則t與
4ac-b2
4a
是否具有確定的大小關(guān)系?證明你的結(jié)論.

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完成下列進(jìn)位制之間的轉(zhuǎn)化:1101(2)=
 
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