Question

如圖，A地到火車站共有兩條路徑L₁和L₂，據(jù)統(tǒng)計，通過兩條路徑所用的時間互不影響，所用時間落在各個時間段內(nèi)的頻率如下表：

時間（分鐘）	10～20	20～30	30～40	40～50	50～60
L1的頻率	0.1	0.2	0.3	0.2	0.2
L2的頻率	0	0.1	0.4	0.4	0.1

現(xiàn)甲、乙兩人分別有40分鐘和50分鐘時間用于趕往火車站．
（1）為了盡最大可能在各自允許的時間內(nèi)趕到火車站，甲和乙應(yīng)如何選擇各自的路徑？
（2）如果甲隨機地選取了一條路徑，求甲在允許的時間內(nèi)能趕到火車站的概率；
（3）如果甲、乙都是隨機地選取了一條路徑，求他們在允許的時間內(nèi)至少有一人不能趕到火車站的概率．

Answer 1

考點：相互獨立事件的概率乘法公式,互斥事件的概率加法公式

專題：概率與統(tǒng)計

分析：（1）設(shè)A_i表示事件“甲選擇路徑L_i時，40分鐘內(nèi)趕到火車站”，B_i表示事件“甲選擇路徑L_i時，50分鐘內(nèi)趕到火車站”，i=1，2，求出P（A₁）和P（A₂）的值，甲應(yīng)選擇概率值較大的路徑．再求得P（B₁）和P（B₂），乙也應(yīng)選擇概率值較大的路徑．
（2）甲在允許的時間內(nèi)能趕到火車站的概率等于

1

2

P（A₁）+

1

2

P（A₂），計算求得結(jié)果．
（3）求得乙在允許的時間內(nèi)能趕到火車站的概率，結(jié)合（2）求得他們在允許的時間內(nèi)都能趕到火車站的概率，再用1減去此概率．即得所求．

解答： 解：（1）A_i表示事件“甲選擇路徑L_i時，40分鐘內(nèi)趕到火車站”，
B_i表示事件“甲選擇路徑L_i時，50分鐘內(nèi)趕到火車站”，i=1，2．
用頻率估計相應(yīng)的概率，則有：P（A₁）=0.1+0.2+0.3=0.6，P（A₂）=0.1+0.4=0.5；
∵P（A₁）＞P（A₂），∴甲應(yīng)選擇路徑L₁；
P（B₁）=0.1+0.2+0.3+0.2=0.8，P（B₂）=0.1+0.4+0.4=0.9；
∵P（B₂）＞P（B₁），∴乙應(yīng)選擇路徑L₂，
（2）甲在允許的時間內(nèi)能趕到火車站的概率等于

1

2

P（A₁）+

1

2

P（A₂）=0.55．
（3）乙在允許的時間內(nèi)能趕到火車站的概率等于

1

2

P（B₁）+

1

2

P（B₂）=0.85，
故他們在允許的時間內(nèi)都能趕到火車站的概率為0.55×0.85=0.4675，
故他們在允許的時間內(nèi)至少有一人不能趕到火車站的概率為1-0.4675=0.5325．

點評：本題主要考查相互獨立事件的概率乘法公式，所求的事件的概率與它的對立事件的概率之間的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．