Question

已知函數(shù)f（x）=x²+mx+n的圖象過點（1，3），且f（-1+x）=f（-1-x）對任意實數(shù)都成立，函數(shù)y=g（x）與y=f（x）的圖象關于原點對稱．
（Ⅰ）求f（x）與g（x）的解析式；
（Ⅱ）若F（x）=e^xg（x）-λ[f（x）+x²]在[-2，0]上是增函數(shù)，求實數(shù)λ的取值范圍．

Answer 1

考點：二次函數(shù)的性質,抽象函數(shù)及其應用

專題：綜合題,函數(shù)的性質及應用

分析：（Ⅰ）根據(jù)函數(shù)f（x）=x²+mx+n的圖象過點（1，3），且f（-1+x）=f（-1-x）對任意實數(shù)都成立，求f（x）的解析式，利用函數(shù)y=g（x）與y=f（x）的圖象關于原點對稱，求出g（x）的解析式；
（Ⅱ）（x）在[-2，0]是增函數(shù)，即F'（x）=e^x（-x²+2）-2λ≥0在[-2，0]恒成立，亦即2λ≤e^x（-x²+2）在[-2，0]上恒成立，即2λ≤[e^x（-x²+2）]_min在[-2，0]恒成立．

解答： 解：（Ⅰ）由題意知：m=2，n=0，
∴f（x）=x²+2x…（2分）
設函數(shù)y=f（x）圖象上的任意一點Q（x₀，y₀）關于原點的對稱點為P（x，y），則x₀=-x，y₀=-y，…（4分）
∵點Q（x₀，y₀）在y=f（x）的圖象上
∴-y=x²-2x，y=-x²+2x
∴g（x）=-x²+2x…（6分）
（Ⅱ） F（x）=e^x（-x²+2x）-λ•2x
∵F（x）在[-2，0]是增函數(shù)，即F'（x）=e^x（-x²+2）-2λ≥0在[-2，0]恒成立．
亦即2λ≤e^x（-x²+2）在[-2，0]上恒成立．即2λ≤[e^x（-x²+2）]_min在[-2，0]恒成立．…（8分）
令h（x）=e^x（-x²+2），而h'（x）=e^x（-x²-2x+2）…（10分）
當[-2，0]時，-x²-2x+2＞0，從而h'（x）=e^x（-x²-2x+2）＞0
∴h（x）在[-2，0]為增函數(shù)，∴[h(x)]min=h(-2)=-

2

e2

…（12分）
故λ≤-

1

e2

，實數(shù)λ的取值范圍是(-∞，-

1

e2

]．…（13分）

點評：本題考查函數(shù)解析式的確定，考查導數(shù)知識的運用，考查函數(shù)的單調性，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．