考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程,點(diǎn)到直線的距離公式
專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用
分析：（Ⅰ）在函數(shù)g（x）的圖象上任意取一點(diǎn)P（
x，），則|OP|=
，根據(jù)對(duì)稱性，取到最小值的點(diǎn)的橫坐標(biāo)x＞0，由此能求出函數(shù)y=g（x）圖象上任意一點(diǎn)P到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離的最小值為2．
（Ⅱ）假設(shè)存在滿足條件的正整數(shù)m，函數(shù)g（x）=
在（-2，+∞）上單調(diào)遞減，f（k）=g（b）＞g（k），當(dāng)x＞0時(shí)，不等式f（x）＞g（x）恒成立，由此利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)推導(dǎo)出存在最大數(shù)m=5滿足條件．
解答：
解：（Ⅰ）在函數(shù)g（x）的圖象上任意取一點(diǎn)P（
x，），
則|OP|=
，根據(jù)對(duì)稱性，取到最小值的點(diǎn)的橫坐標(biāo)x＞0，
令P（x）=x
2+（
）
2，
p′(x)=2x-2×27()2=0，
即x（x+2）
3=27，
觀察得x=1是方程的一個(gè)根，且x∈（0，1），
∴P′（x）＜0，x∈（1，+∞），
∴P（x）
min=4，∴|OP|
min=2．
即函數(shù)y=g（x）圖象上任意一點(diǎn)P到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離的最小值為2．
（Ⅱ）假設(shè)存在滿足條件的正整數(shù)m，函數(shù)g（x）=
在（-2，+∞）上單調(diào)遞減，
f（k）=g（b）＞g（k），
當(dāng)x＞0時(shí)，不等式f（x）＞g（x）恒成立，即：
＞，∴m＜
，
令h（x）=
，x＞0，
h′(x)=，x＞0
設(shè)p（x）=x-4-2ln（x+2），x＞0
則p′（x）=
＞0，x＞0，∴p（x）=x-4-2ln（x+2），x＞0是單調(diào)增函數(shù)，
而p（8）=4-2ln10＜0，p（9）=5-2ln11＞0，
存在唯一正實(shí)數(shù)x
0滿足p（x
0）=0，
∴h′（x
0）=0，x
0∈（8，9），
當(dāng)x∈（0，x
0）時(shí)，h′（x）0．
∴x∈（0，+∞）時(shí)，h（x）
min=
h(x0)==
∈（5，
），
存在最大正數(shù)m滿足條件．
下面證明，當(dāng)m=5時(shí)，對(duì)x∈（-2，0），有f（x）＜g（x），
即（x+2）ln（x+2）+4-3x＞0，
令r（x）=（x+2）ln（x+2）+4-3x，r′（x）=ln（x+2）-2＜0，x∈（-2，0），
∴r（x）＞r（0）=4+2ln2＞0，不等式成立，
∵函數(shù)g（x）=
在（0，+∞）的值域?yàn)椋?，+∞），
函數(shù)f（x）=
在（0，+∞）的值域?yàn)椋?，+∞），
在（-2，0）上的值域?yàn)椋?∞，+∞），
∴存在實(shí)數(shù)a，b，滿足-1＜a＜b＜k，有f（k）=f（a）=g（b），
∴存在最大數(shù)m=5滿足條件．
點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)y=g（x）圖象上任意一點(diǎn)P到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離的最小值的求法，考查是否存在滿足條件的最大的正整數(shù)的判斷與求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意導(dǎo)數(shù)性質(zhì)的合理運(yùn)用．
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