Question

如圖1，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD，∠ABC=60°，E是BC的中點，如圖2，將△ABE沿AE折起，使面BAE⊥面AECD，連接BC，BD，P是棱BC上的動點．
（1）求證：AE⊥BD；
（2）若AB=2，當(dāng)

BP

BC

為何值時，二面角P-ED-C的大小為45°．

Answer 1

考點：二面角的平面角及求法,空間中直線與直線之間的位置關(guān)系

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）取AE中點O，連結(jié)BO，DO，由已知條件得BO⊥AE，OD⊥AE，由此能證明AE⊥BD．
（2）建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz，利用向量法能求出當(dāng)

BP

BC

=

3

5

時，二面角P-ED-C的大小為45⁰．

解答： （1）證明：取AE中點O，連結(jié)BO，DO，
由題意△ABE，△ADE，△CDE均為正三角形，
∴BO⊥AE，OD⊥AE，
∵BO∩DO=0，∴AE⊥平面BOD，∴AE⊥BD．

（2）∵平面ABE⊥平面AECD，BO⊥AE，
平面ABE∩平面AECD=AE，∴BO⊥平面AECD，
∴BO⊥DO，∵OD⊥AE，
如圖建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz，
AB=2，則BO=DO=

3

，B（0，0，

3

），
D（0，

3

，0），E（1，0，0），C（2，

3

，0），

BC

=(2，

3

，-

3

），

ED

=(-1，

3

，0)，

EB

=(-1，0，

3

)，
設(shè)

BP

BC

=m，

OP

=

OB

+

BP

=

OB

+m

BC

=(0，0，

3

)+m(2，

3

，-

3

)=(2m，

3

m，

3

-

3

m)，

EP

=(2m-1，

3

m，

3

-

3

m)，
設(shè)平面PDE的法向量為

n

=(x，y，z)，
則

n • ED =0 n • EP =0

，即

-x+ 3 y=0 (2m-1)x+ 3 my+( 3 - 3 m)z=0

令x=1，則

y= 3 3 z= 1-3m 3 - 3 m

∴

n

=(1，

3

3

，

1-3m

3 - 3 m

)
平面CDE的法向量為

m

=(0，0，1)，
| cos＜

n

，

m

＞ =

|  1-3m 3 - 3 m  |

12+( 3 3 )2+( 1-3m 3 - 3 m )2

=cos450=

2

2

，
∴

2

3

(

1-3m

1-m

)2=

4

3

+

1

3

(

1-3m

1-m

)2解得m=-1(舍)，或m=

3

5

所以當(dāng)

BP

BC

=

3

5

時，二面角P-ED-C的大小為45⁰．

點評：本題考查異面直線垂直的證明，考查滿足二面角為45°的兩線段比值的求法，解題時要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運用．