Question

4．已知：$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow$、$\overrightarrow{c}$是同一平面內(nèi)的三個(gè)向量，其中向量$\overrightarrow{a}$=（1，2），$\overrightarrow$=（-3，2）
（1）若k$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow$與2$\overrightarrow{a}$-4$\overrightarrow$平行，求實(shí)數(shù)k的值；
（2）若k$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow$與2$\overrightarrow{a}$-4$\overrightarrow$垂直，求實(shí)數(shù)k的值．
（3）若|$\overrightarrow{c}$|=2$\sqrt{5}$，且$\overrightarrow{c}$∥$\overrightarrow{a}$，求$\overrightarrow{c}$的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 首先由向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$的坐標(biāo)求得k$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow$與2$\overrightarrow{a}$-4$\overrightarrow$的坐標(biāo)．
（1）直接由向量平行的坐標(biāo)表示列式求得k的值；
（2）直接由向量垂直的坐標(biāo)表示列式求得k的值；
（3）設(shè)出$\overrightarrow{c}=（x，y）$，由|$\overrightarrow{c}$|=2$\sqrt{5}$，且$\overrightarrow{c}$∥$\overrightarrow{a}$聯(lián)立方程組求得x，y值得答案．

解答 解：∵$\overrightarrow{a}$=（1，2），$\overrightarrow$=（-3，2），
∴k$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow$=（k-6，2k+4），2$\overrightarrow{a}$-4$\overrightarrow$=（14，-4）．
（1）∵（k$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow$）∥（2$\overrightarrow{a}$-4$\overrightarrow$），∴-4（k-6）-14（2k+4）=0，即k=-1；
（2）∵（k$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow$）⊥（2$\overrightarrow{a}$-4$\overrightarrow$），∴14（k-6）-4（2k+4）=0，即k=$\frac{50}{3}$；
（3）設(shè)$\overrightarrow{c}=（x，y）$，由|$\overrightarrow{c}$|=2$\sqrt{5}$，且$\overrightarrow{c}$∥$\overrightarrow{a}$，得：
$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+{y}^{2}=20}\\{2x-y=0}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=4}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-2}\\{y=-4}\end{array}\right.$．
∴$\overrightarrow{c}$=（2，4）或$\overrightarrow{c}$=（-2，-4）．

點(diǎn)評(píng) 平行與垂直問題是一個(gè)重要的知識(shí)點(diǎn)，在高考題中常常出現(xiàn)，常與向量的模、向量的坐標(biāo)表示等聯(lián)系在一起，要特別注意垂直與平行的區(qū)別．若$\overrightarrow{a}$=（a₁，a₂），$\overrightarrow$=（b₁，b₂），則$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow$?a₁a₂+b₁b₂=0，$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow$?a₁b₂-a₂b₁=0，是基礎(chǔ)題．