Question

3．設(shè)橢圓C過焦點(diǎn)$（0，\sqrt{3}），（0，-\sqrt{3}）$，離心率為$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，過點(diǎn)M（0，1）的直線l交橢圓C于點(diǎn)A、B，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P滿足$\overrightarrow{OP}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$）；求：
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程．

Answer 1

分析 （1）利用橢圓C過焦點(diǎn)$（0，\sqrt{3}），（0，-\sqrt{3}）$，離心率為$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，求出c，a，可得b，即可求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)出直線l的方程，A，B的坐標(biāo)，聯(lián)立直線與橢圓的方程，利用韋達(dá)定理表示出x₁+x₂，利用直線方程表示出y₁+y₂，然后利用$\overrightarrow{OP}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$）求得$\overrightarrow{OP}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$）的坐標(biāo)，設(shè)出P的坐標(biāo)，然后聯(lián)立方程消去參數(shù)k求得x和y的關(guān)系式，P點(diǎn)軌跡可得．

解答 解：（1）由題意，c=$\sqrt{3}$，$\frac{c}{a}$=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
∴a=2，
∴b=1，
∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為${x}^{2}+\frac{{y}^{2}}{4}$=1；
（2）設(shè)P（x，y）是所求軌跡上的任一點(diǎn)，
①當(dāng)斜率存在時(shí)，直線l的方程為y=kx+1，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
橢圓：4x²+y²-4=0
由直線l：y=kx+1代入橢圓方程得到：
（4+k²）x²+2kx-3=0，
x₁+x₂=-$\frac{2k}{4+{k}^{2}}$，y₁+y₂=$\frac{8}{4+{k}^{2}}$，
由$\overrightarrow{OP}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$）得：（x，y）=$\frac{1}{2}$（x₁+x₂，y₁+y₂），
即：x=-$\frac{k}{4+{k}^{2}}$，y=$\frac{4}{4+{k}^{2}}$
消去k得：4x²+y²-y=0
當(dāng)斜率不存在時(shí)，AB的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，也適合方程，
所以動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為：4x²+y²-y=0．

點(diǎn)評(píng) 本小題主要考查平面向量的概念、直線方程的求法、橢圓的方程和性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，以及軌跡的求法與應(yīng)用、曲線與方程的關(guān)系等解析幾何的基本思想和綜合解題能力．