Question

14．已知函數(shù)f（x）=lnx+ax²+bx（其中a，b為常數(shù)且a≠0）在x=1處的切線與x軸平行．
（Ⅰ）當(dāng)b=-3時，求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若f（x）在（0，e]上的最大值為1，求b的值．

Answer 1

分析 （1）由函數(shù)的解析式，可求出函數(shù)導(dǎo)函數(shù)的解析式，進(jìn)而根據(jù)在x=1處的切線與x軸平行，可構(gòu)造關(guān)于a，b的方程，根據(jù)b=-3求出a值；可得函數(shù)導(dǎo)函數(shù)的解析式，分析導(dǎo)函數(shù)值大于0和小于0時，x的范圍，可得函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）對函數(shù)求導(dǎo)，寫出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)等于0的x的值，列表表示出在各個區(qū)間上的導(dǎo)函數(shù)和函數(shù)的情況，做出極值，把極值同端點處的值進(jìn)行比較得到最大值，最后利用條件建立關(guān)于b的方程求得結(jié)果．

解答 解：（1）因為f（x）=lnx+ax²+bx，所以f′（x）=$\frac{1}{x}$+2ax+b．
因為f（x）=lnx+ax²+bx（其中a，b為常數(shù)且a≠0）在x=1處的切線與x軸平行…（3分）
f′（1）=1+2a+b=0
當(dāng)b=-3時，a=1，f′（x）=$\frac{2{x}^{2}-3x+1}{x}$，
隨的變化情況如下表：

x	（0，$\frac{1}{2}$）	$\frac{1}{2}$	（$\frac{1}{2}$，1）	1	（1，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）		極大值		極小值

所以的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，$\frac{1}{2}$），（1，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間為（$\frac{1}{2}$，1）…（…（6分）
（2）因為f′（x）=$\frac{（2ax-1）（x-1）}{x}$，令f′（x）=0，x₁=1，x₂=$\frac{1}{2a}$…（7分）
因為f（x）在 x=1處取得極值，所以x₂=$\frac{1}{2a}$≠x₁=1，
當(dāng)$\frac{1}{2a}$＜0時，f（x）在[1，e]上單調(diào)遞減，
所以在區(qū)間（0，e]上的最大值為f（1），令（1）=1，解得a=-2，所以b=3…（8分）
當(dāng)a＞0，x₂=$\frac{1}{2a}$＞0，
當(dāng)$\frac{1}{2a}$＜1時，f（x）在（0，$\frac{1}{2a}$）上單調(diào)遞增，（$\frac{1}{2a}$，1）上單調(diào)遞減，（1，e）上單調(diào)遞增
所以最大值1可能在x=$\frac{1}{2a}$或x=e處取得
而f（$\frac{1}{2a}$）=ln$\frac{1}{2a}$+a（$\frac{1}{2a}$）²-（2a+1）•$\frac{1}{2a}$=ln$\frac{1}{2a}$-$\frac{1}{4a}$-1＜0
所以f（e）=lne+ae²-（2a+1）e=1，
解得a=$\frac{1}{e-2}$，$b=\frac{-e}{e-2}$…（10分）
當(dāng)1≤$\frac{1}{2a}$＜e時，f（x）在區(qū)間（0，1）上單調(diào)遞增，（1，$\frac{1}{2a}$）上單調(diào)遞減，（$\frac{1}{2a}$，e）上單調(diào)遞增
所以最大值1可能在x=1或x=e處取得
而f（1）=ln1+a-（2a+1）＜0
所以f（e）=lne+ae²-（2a+1）e=1，
解得a=$\frac{1}{e-2}$，與1＜x₂=$\frac{1}{2a}$＜e矛盾，…（11分）
當(dāng)x₂=$\frac{1}{2a}$≥e時，f（x）在區(qū)間（0，1）上單調(diào)遞增，在[1，e]單調(diào)遞減，
所以最大值1可能在x=1處取得，而f（1）=ln1+a-（2a+1）＜0，矛盾
綜上所述，b=3或$b=\frac{-e}{e-2}$…（12分）

點評 本題考查的知識點是利用導(dǎo)數(shù)研究切線方程，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，其中根據(jù)已知條件確定a，b值，得到函數(shù)導(dǎo)函數(shù)的解析式并對其符號進(jìn)行分析，是解答的關(guān)鍵．屬難題．