14.已知函數(shù)f(x)=lnx+ax2+bx(其中a,b為常數(shù)且a≠0)在x=1處的切線與x軸平行.
(Ⅰ)當(dāng)b=-3時,求f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)若f(x)在(0,e]上的最大值為1,求b的值.

分析 (1)由函數(shù)的解析式,可求出函數(shù)導(dǎo)函數(shù)的解析式,進(jìn)而根據(jù)在x=1處的切線與x軸平行,可構(gòu)造關(guān)于a,b的方程,根據(jù)b=-3求出a值;可得函數(shù)導(dǎo)函數(shù)的解析式,分析導(dǎo)函數(shù)值大于0和小于0時,x的范圍,可得函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)對函數(shù)求導(dǎo),寫出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)等于0的x的值,列表表示出在各個區(qū)間上的導(dǎo)函數(shù)和函數(shù)的情況,做出極值,把極值同端點處的值進(jìn)行比較得到最大值,最后利用條件建立關(guān)于b的方程求得結(jié)果.

解答 解:(1)因為f(x)=lnx+ax2+bx,所以f′(x)=$\frac{1}{x}$+2ax+b.
因為f(x)=lnx+ax2+bx(其中a,b為常數(shù)且a≠0)在x=1處的切線與x軸平行…(3分)
f′(1)=1+2a+b=0
當(dāng)b=-3時,a=1,f′(x)=$\frac{2{x}^{2}-3x+1}{x}$,
隨的變化情況如下表:

x(0,$\frac{1}{2}$)$\frac{1}{2}$($\frac{1}{2}$,1)1(1,+∞)
f′(x)+0-0+
f(x) 極大值 極小值
所以的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,$\frac{1}{2}$),(1,+∞),單調(diào)遞減區(qū)間為($\frac{1}{2}$,1)…(…(6分)
(2)因為f′(x)=$\frac{(2ax-1)(x-1)}{x}$,令f′(x)=0,x1=1,x2=$\frac{1}{2a}$…(7分)
因為f(x)在 x=1處取得極值,所以x2=$\frac{1}{2a}$≠x1=1,
當(dāng)$\frac{1}{2a}$<0時,f(x)在[1,e]上單調(diào)遞減,
所以在區(qū)間(0,e]上的最大值為f(1),令(1)=1,解得a=-2,所以b=3…(8分)
當(dāng)a>0,x2=$\frac{1}{2a}$>0,
當(dāng)$\frac{1}{2a}$<1時,f(x)在(0,$\frac{1}{2a}$)上單調(diào)遞增,($\frac{1}{2a}$,1)上單調(diào)遞減,(1,e)上單調(diào)遞增
所以最大值1可能在x=$\frac{1}{2a}$或x=e處取得
而f($\frac{1}{2a}$)=ln$\frac{1}{2a}$+a($\frac{1}{2a}$)2-(2a+1)•$\frac{1}{2a}$=ln$\frac{1}{2a}$-$\frac{1}{4a}$-1<0
所以f(e)=lne+ae2-(2a+1)e=1,
解得a=$\frac{1}{e-2}$,$b=\frac{-e}{e-2}$…(10分)
當(dāng)1≤$\frac{1}{2a}$<e時,f(x)在區(qū)間(0,1)上單調(diào)遞增,(1,$\frac{1}{2a}$)上單調(diào)遞減,($\frac{1}{2a}$,e)上單調(diào)遞增
所以最大值1可能在x=1或x=e處取得
而f(1)=ln1+a-(2a+1)<0
所以f(e)=lne+ae2-(2a+1)e=1,
解得a=$\frac{1}{e-2}$,與1<x2=$\frac{1}{2a}$<e矛盾,…(11分)
當(dāng)x2=$\frac{1}{2a}$≥e時,f(x)在區(qū)間(0,1)上單調(diào)遞增,在[1,e]單調(diào)遞減,
所以最大值1可能在x=1處取得,而f(1)=ln1+a-(2a+1)<0,矛盾
綜上所述,b=3或$b=\frac{-e}{e-2}$…(12分)

點評 本題考查的知識點是利用導(dǎo)數(shù)研究切線方程,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)在閉區(qū)間上的最值,其中根據(jù)已知條件確定a,b值,得到函數(shù)導(dǎo)函數(shù)的解析式并對其符號進(jìn)行分析,是解答的關(guān)鍵.屬難題.

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(1)將曲線C1的極坐標(biāo)方程化為直角方程,C2的參數(shù)方程化為普通方程;
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