Question

3．已知${（2x+\root{3}{x^2}）^n}$的展開式中，倒數(shù)第3項的二項式系數(shù)為45，
（1）求展開式中x⁵的項；
（2）求二項式系數(shù)最大的項．

Answer 1

分析 （1）由倒數(shù)第3項的二項式系數(shù)為45列式求得n值，然后寫出二項展開式的通項，由x的指數(shù)等于5求得r值，則答案可求；
（2）由（1）可得展開式共有11項，得到第6項的二項式系數(shù)最大，由此求得最大項．

解答 解：（1）由${C}_{n}^{2}=45$，得n=10，
${T}_{r+1}={C}_{10}^{r}（2x）^{10-r}（{x}^{\frac{2}{3}}）^{r}={C}_{10}^{r}{2}^{10-r}{x}^{10-\frac{5}{3}r}$，
令10-$\frac{5}{3}r=5$，得r=3．
∴${T}_{4}={C}_{10}^{3}{2}^{7}{x}^{5}=15360{x}^{5}$；
（2）由（1）知，展開式共有11項，
∴第6項的二項式系數(shù)最大，${T}_{6}=8024{x}^{\frac{25}{3}}$．

點評 本題考查二項式系數(shù)的性質(zhì)，關(guān)鍵是熟記二項展開式的通項及應(yīng)用，是基礎(chǔ)題．