Question

14．在平面直角坐標(biāo)系中，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，兩定點(diǎn)A，B滿足$|{\overrightarrow{OA}}|=|{\overrightarrow{OB}}|=\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=2$，則$\overrightarrow{OA}，\;\overrightarrow{OB}$的夾角為60°；點(diǎn)集$\{\left.{P\;}\right|\;\overrightarrow{OP}=λ\overrightarrow{OA}+μ\overrightarrow{OB}\;，\;λ+μ≤1\;，\;λ≥0\;，\;μ≥0\}$所表示的區(qū)域的面積是$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 由兩定點(diǎn)A，B滿足$|{\overrightarrow{OA}}|=|{\overrightarrow{OB}}|=\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=2$，運(yùn)用數(shù)量積的定義，說明O，A，B三點(diǎn)構(gòu)成邊長為2的等邊三角形，設(shè)出兩個(gè)定點(diǎn)的坐標(biāo)，再設(shè)出P點(diǎn)坐標(biāo)，由平面向量基本定理，把P的坐標(biāo)用A，B的坐標(biāo)及λ，μ表示，把不等式0≤λ+μ≤1去絕對(duì)值后可得線性約束條件，畫出可行域可求點(diǎn)集P所表示區(qū)域的面積．

解答 解：由兩定點(diǎn)A，B滿足$|{\overrightarrow{OA}}|=|{\overrightarrow{OB}}|=\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=2$，
說明O，A，B三點(diǎn)構(gòu)成邊長為2的等邊三角形．
不妨O，A，B三點(diǎn)構(gòu)成邊長為2的等邊三角形．
設(shè)A（$\sqrt{3}$，-1），B（$\sqrt{3}$，1）．再設(shè)P（x，y）．
由$\overrightarrow{OP}$=λ$\overrightarrow{OA}$+μ$\overrightarrow{OB}$，得：（x，y）=（$\sqrt{3}$λ，-λ）+（$\sqrt{3}$μ，μ）
=（$\sqrt{3}$（λ+μ），μ-λ）．
所以$\left\{\begin{array}{l}{λ+μ=\frac{\sqrt{3}}{3}x}\\{μ-λ=y}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{λ=\frac{\sqrt{3}}{6}x-\frac{1}{2}y}\\{μ=\frac{\sqrt{3}}{6}x+\frac{1}{2}y}\end{array}\right.$①．
由λ+μ≤1．
所以①等價(jià)于$\left\{\begin{array}{l}{\frac{\sqrt{3}}{6}x-\frac{1}{2}y≥0}\\{\frac{\sqrt{3}}{6}x+\frac{1}{2}y≥0}\\{0＜x≤\sqrt{3}}\end{array}\right.$，
可行域如圖中等邊三角形AOB及其內(nèi)部區(qū)域，
則區(qū)域面積為$\frac{\sqrt{3}}{4}$×4=$\sqrt{3}$．
故答案為：60⁰，$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平面向量的基本定理及其意義，考查了二元一次不等式（組）所表示的平面區(qū)域，考查了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，解答此題的關(guān)鍵在于讀懂題意，屬中檔題．