Question

19．已知實數(shù)x，y滿足$\left\{\begin{array}{l}{y≥x}\\{x+y≤a（a＞0）}\\{x≥1}\end{array}\right.$，$\frac{{y}^{2}-2xy+3{x}^{2}}{{x}^{2}}$的最大值為6，則實數(shù)a的值為（　�。�

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域，利用分式函數(shù)的性質(zhì)將條件進(jìn)行化簡，結(jié)合一元二次函數(shù)的性質(zhì)建立方程關(guān)系進(jìn)行求解即可．

解答 解：$\frac{{y}^{2}-2xy+3{x}^{2}}{{x}^{2}}$=（$\frac{y}{x}$）²-2•（$\frac{y}{x}$）+3=（$\frac{y}{x}$-1）²+2，
設(shè)k=$\frac{y}{x}$，則k的幾何意義是區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)到原點(diǎn)的斜率，
作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域如圖：
由$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=x}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=1}\end{array}\right.$，即A（1，1），
則點(diǎn)A（1，1）在直線x+y＜a內(nèi)，
即a＞1+1=2，
由$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{x+y=a}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=a-1}\end{array}\right.$．即B（1，a-1），
AC對應(yīng)直線為y=x，斜率k=1，
則k=$\frac{y}{x}$的最大值為k=a-1，
則1≤k≤a-1，（a≥2），
則當(dāng)$\frac{y}{x}$=a-1時，$\frac{{y}^{2}-2xy+3{x}^{2}}{{x}^{2}}$取得最大值為6，
即（a-1-1）²+2=6，即（a-2）²=4，
解得a-2=2或a-2=-2，
即a=4或a=0（舍），
故選：D

點(diǎn)評 本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，利用分式函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合一元二次函數(shù)的單調(diào)性和最值的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強(qiáng)．