Question

2．已知由不等式組$\left\{\begin{array}{l}{x≤0}\\{y≥0}\\{y-kx≤2}\\{y-x-4≤0}\\{\;}\end{array}\right.$（k≤0）確定的平面區(qū)域Ω的面積為7，點M（x，y）∈Ω，則z=$\frac{1}{2}x$+y的最大值是$\frac{5}{2}$．

Answer 1

分析 作出不等式組對應的平面區(qū)域，根據陰影部分確定對應的面積，求出k的值，利用目標函數的幾何意義，進行求最值即可．

解答 解：依題意畫出不等式組$\left\{\begin{array}{l}{x≤0}\\{y≥0}\\{y-x-4≤0}\end{array}\right.$所表示的平面區(qū)域（如右圖所示）
可知其圍成的區(qū)域是等腰直角三角形面積為8，
由直線y=kx+2恒過點B（0，2），且原點的坐標恒滿足y-kx≤2，
當k=0時，y≤2，此時平面區(qū)域Ω的面積為6，
由于6＜7，由此可得k＜0．
由$\left\{\begin{array}{l}{y-kx=2}\\{y-x-4=0}\end{array}\right.$，可得D（$\frac{2}{k-1}$，$\frac{4k-2}{k-1}$），
依題意應有$\frac{1}{2}×2•|\frac{2}{k-1}|=1$，
解得k=-1（k=3，舍去）
由z=x-2y得y=$\frac{1}{2}x-\frac{z}{2}$，
作出不等式組$\left\{\begin{array}{l}{x≤0}\\{y≥0}\\{y+x≤2}\\{y-x-4≤0}\end{array}\right.$對應的平面區(qū)域如圖（陰影部分）：
由z=$\frac{1}{2}x$+y得y=-$\frac{1}{2}x$+z
平移直線y=-$\frac{1}{2}x$+z，
由圖象可知當直線y=-$\frac{1}{2}x$+z，過點D時，直線y=-$\frac{1}{2}x$+z截距最大，此時z最大，
由$\left\{\begin{array}{l}{y+x=2}\\{y-x-4=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\{y=3}\end{array}\right.$，即D（-1，3）．
代入目標函數z=$\frac{1}{2}x$+y=-$\frac{1}{2}$+3=$\frac{5}{2}$．
∴目標函數z=$\frac{1}{2}x$+y的最大值是$\frac{5}{2}$．
故答案為：$\frac{5}{2}$

點評 本題主要考查線性規(guī)劃的基本應用，先根據區(qū)域面積求出k的值，以及利用目標函數的幾何意義是解決問題的關鍵，利用數形結合是解決問題的基本方法．