Question

已知f（x）是定義在[-1，1]上的奇函數(shù)，且f（1）=1，若a，b∈[-1，1]，a-b≠0時，有

f(a)-f(b)

a-b

＞0成立．
（1）判斷f（x）在[-1，1]上的單調(diào)性，并證明；
（2）解不等式：f（x+

1

2

）＜f（

1

x-1

）．

Answer 1

考點：奇偶性與單調(diào)性的綜合

專題：綜合題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)a，b∈[-1，1]，a-b≠0時，有

f(a)-f(b)

a-b

＞0成立，利用函數(shù)單調(diào)性的定義，即可得出結(jié)論；
（2）根據(jù)f（x）在[-1，1]上單調(diào)遞增，建立不等式組，即可解不等式．

解答： 解：（1）f（x）在[-1，1]上單調(diào)遞增．
設(shè)x₁，x₂∈[-1，1]，x₁＜x₂，
∵a，b∈[-1，1]，a-b≠0時，有

f(a)-f(b)

a-b

＞0成立，即對任意x₁，x₂∈[-1，1]，有

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＞0，
又x₁＜x₂，
∴f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x）在[-1，1]上單調(diào)遞增．
（2）∵f（x）在[-1，1]上單調(diào)遞增，
∴

x+ 1 2 ＜ 1 x-1 -1≤x+ 1 2 ≤1 -1≤ 1 x-1 ≤1

，
∴-

3

2

≤x＜-1．

點評：利用函數(shù)的單調(diào)性的定義是解題的關(guān)鍵，借助于函數(shù)的單調(diào)性，可以轉(zhuǎn)化不等式．