Question

16．如圖，已知圓（x-2）²+y²=$\frac{4}{9}$是橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的內接△ABC的內切圓，其中A為橢圓C的左頂點，且橢圓C的離心率為$\frac{{\sqrt{15}}}{4}$，則此橢圓的標準方程為$\frac{x^2}{16}+{y^2}=1$．

Answer 1

分析 利用橢圓G的離心率為e=$\frac{\sqrt{15}}{4}$，設左頂點A（-a，0），根據(jù)圓（x-2）²+y²=$\frac{4}{9}$是橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的內接△ABC的內切圓，求出a，b的值，可求橢圓的標準方程；

解答 解：設橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的左頂點為A（-a，0），
∵e=$\frac{\sqrt{15}}{4}$=$\frac{c}{a}$，得c=$\frac{\sqrt{15}}{4}$a，
則b²=a²-c²=$\frac{{a}^{2}}{16}$，
即b=$\frac{a}{4}$，
由圓G（x-2）²+y²=$\frac{4}{9}$是橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的內接△ABC的內切圓，
過圓心G作GD⊥AB于D，BC交長軸于H，

則BH=$\sqrt{\frac{{a}^{2}}{16}-\frac{4}{9}}$，AD=$\sqrt{（a+2）^{2}-（\frac{2}{3}）^{2}}$，
∵$\frac{GD}{AD}=\frac{BH}{AH}$，
即$\frac{\frac{2}{3}}{\sqrt{{（a+2）}^{2}-{（\frac{2}{3}）}^{2}}}=\frac{\sqrt{\frac{{a}^{2}}{16}-\frac{4}{9}}}{a+2+\frac{2}{3}}$，
解得：a=4，
∴橢圓的標準方程為：$\frac{x^2}{16}+{y^2}=1$

點評 本題考查的知識點是橢圓的簡單性質，橢圓的方程，本題計算量比較大，屬于難題．